Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
но не точна: Js2 Q = 47г. Векторное поле v - ex ai(t) является
нестационарным касательным полем на S2.
Покажем, что уравнение (9.2) является уравнением Гамильтона на
симплектическом многообразии (S2,Q) с гамильтонианом Н = = -(е, co(t)).
Действительно, fi(v, ¦) = (е, (ex ш) х (¦)) - (¦ ,е х (е х х и;)) = (¦,
е(ш, е) - и>) = - (¦, ш) = dH.
Любопытно отметить, что если е = ?(t)- решение уравнений
(9.2), то функция / = (?(?), е) является их первым интегралом. Если ш -
р-периодическая функция времени, то отображение за период линейной
системы (9.2) сохраняет ориентированную площадь S2 и, следовательно,
имеет по меньшей мере две различные неподвижные точки. В этом случае
имеется интеграл, р- периоди чес кий по t.
3. Рассмотрим, следуя Биркгофу [18], "обобщенную проблему Пфаффа" о
стационарных кривых функционала Р(х(-)) -
- ЩХ1 + B^j dt. Здесь щ,В - некоторые гладкие функции
переменных х\,...,хп и t. Нетрудно показать, что вариационное уравнение
6Р = 0 (8xi(t\) = 6xi(t2) = 0) определяет переменные ж, как функции t,
удовлетворяющие системе уравнений
ди дВ
-г-|- (rot и)х = -- , rot и ¦
at ox
дщ duj dxj dx{
(9.3)
Действительно, это уравнение является уравнением Эйлера - Лаг-ddL 8L
ранжа = с лагранжианом L = их + В, линейным по
скоростям.
При п = 3 умножение матрицы rot и на вектор ? эквивалентно векторному
умножению г] х ?, причем г] совпадает с ротором векторного поля и. Этим
объясняется целесообразность обозначения кососимметричной матрицы
\\dui/dxj - duj/dx,;|| через rot и в многомерном случае.
Матрица rot и предполагается невырожденной для всех рассматриваемых
значений переменных х и t. Следовательно, п четно, и уравнения (9.3)
однозначно определяют нестационарное векторное поле в переменных
хц...,хп.
Если функции Uj не зависят от ?, то уравнения (9.3), очевидно,
гамильтоновы с гамильтонианом В. Фазовым пространством служит Кп = {ж}, а
симплектическая структура задается формулой
Я = d Л UldXl = Л fadx* A dXj = Л ( ^ dxi Л dxi ¦
3 ij г i<j V 1 3 ;
60
§ 9. Задача распознавания гамильтонов ости
В общем нестационарном случае, когда поле и зависит явно от ?, форму Q
также можно привести к стационарному виду. Для этого рассмотрим систему
дифференциальных уравнений х = v(x, t), определяемую (9.3). Пусть
x(t,z)- решение этой системы с начальными данными х(0, z) = z.
Соответствие z -" х = x(t, z) бу-
дем трактовать как неавтономную замену переменных. Положим u(x,t)dx +
B(x,t)dt = u,(z,t)dz + B,(z,t)dt. В силу свойства ковариантности
уравнений Эйлера - Лагранжа, в новых переменных уравнение (9.3) принимает
тот же вид:
dU* / я Ч • fr,
- + (rot u,)z = - . (9.4)
Так как z - 0, то du*/dt = dB*/dz. Отсюда следует, что dQ,/dt = = 0, где
Q, = dz(ut(z, t)dz). Итак, в новых переменных z 2-форма Q, стационарна.
Согласно лемме Пуанкаре, локально найдутся такие ковекторное поле u'(z) и
функция S(z,t), что u,(z,t)dz = - u!(z)dz + dzS(z,t). Уравнение (9.4)
принимает при этом вид (rotu')i - dB'/dz, В' = В + dS/dt. Эти уравнения
гамильтоновы; гамильтонианом служит функция В'.
Смысл поправки dS/dt к гамильтониану В ясен из следующего замечания:
задача Пфаффа не изменится, если добавить в выражение для Р
подынтегральное слагаемое dS = (8S/dt)dt + + (8S/dx)dx.
4. Задача о представимости динамической системы в виде уравнений
Гамильтона включает отыскание двух объектов: функции Гамильтона и
подходящей симплектической структуры. Оказывается, в малой окрестности
каждой неособой точки динамическая система на четномерном многообразии
является гамильтоновой. Это вытекает из теоремы о выпрямлении фазовых
траекторий: в подходящих локальных координатах уравнения приводятся к
виду
х\ - 1 , х2 = .... = х2" - 0 . (9.5)
Система (9.5), очевидно, гамильтонова: симплектическая структу-ра
задается скобкой Пуассона {/, g} = ± (f - JL- ?JL) ,
1 = 1 \ OXi 0Xi+n <JXi+n OXj J
и функция Гамильтона H равна тп+1. Это замечание принадлежит Биркгофу
[18, гл. И].
Таким образом, задача о представимости дифференциальных уравнений в виде
уравнений Гамильтона является содержательной либо в окрестности положения
равновесия, либо в достаточно большой области фазового пространства, где
траектории обладают свойством возвращаемости (например, в окрестности
периодической траектории). К сожалению, она пока совсем не изучена.
61
ГЛАВА II
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
Дифференциальные уравнения, в том числе уравнения Гамильтона, принято
разделять на интегрируемые и неинтегрируемые. "Если, однако, мы
попытаемся сформулировать точное определение интегрируемости, то
оказываются возможными многие различные определения, каждому из которых
присущ известный теоретический интерес" (Дж. Биркгоф [18]). В этой главе
мы дадим обзор различных подходов к проблеме интегрирования гамильтоновых
систем.
§ 1. Интегралы.
Классы интегралов гамильтоновых систем
1. Напомним, что непостоянная функция / : Мп -" К называется первым
интегралом (или просто интегралом) динамической системы х = v(x), х ? Мп,
