Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике" -> 21

Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике — Ижевск, 1995. — 432 c.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка): simmetriitopologiiirezonansa1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 172 >> Следующая

разлетятся на бесконечность. Эти наблюдения принадлежат Якоби. Формула
(6.7) вместе с интегралами импульса и энергии позволяет проинтегрировать
уравнения движения для случая трех частиц.
Полную интегрируемость системы с потенциалом а/z2 для всех п установил
Калоджеро. Затем Мозер [222] нашел интегрируемые случаи, когда f = а/
sin2 z и / = а/ sh2 z. Применяя технику Мозера, Калоджеро обобщил эти
результаты, доказав интегрируемость системы взаимодействующих частиц с
потенциалом в виде p-функции Вейерштрасса [185]. Потенциалы a/z2, а/ sin2
z и а/ sh2 z являются, как известно, вырожденными случаями р-функции.
51
Глава I. Гамильтонова механика
6. В 1967 г. японский физик Тода предложил (см. [159]) рассмотреть
цепочку с потенциалом
f(z) = ye~bz + az , ab > 0 . (6-8)
b
Этот потенциал при а, 6 > 0 дает сильное отталкивание и слабое притяжение
(рис. 6), что соответствует природе межатомных сил. При малых z из (6.8)
получаем разложение
. . a ab о ab
f{z)=b + Yz ~TZ +"'
Таким образом, при достаточно малых отклонениях цепочка Годы выглядит как
нелинейная цепочка с коэффициентом упругости х - ab и параметром
нелинейности из (6.5) Рис. 6
а = -Ь/2.
Для замкнутой цепочки слагаемое az в потенциале (6.8) не иг-
П
рает никакой роли, так как Yl(xi ~ х'+0 = ^ xn+i = х\ . Поэтому
1 = 1
цепочку Тоды называют еще системой с экспоненциальным взаимодействием.
О. И. Богоявленский предложил рассмотреть обобщенные цепочки Тоды. Их
динамика описывается гамильтоновой системой с гамильтонианом
^ 71 71+1
Н=2^+И Ьк-' ехР[(°ь х) + (аь ж)] • (6-9)
i- 1 Ar,/ = 1
Векторы щ,..., ап+\ € К" и вещественные коэффициенты bkj удовлетворяют
следующим условиям:
а) для всякого у € К" тах(ак,у) > 0;
к
б) для всех к коэффициенты Ьк)к > 0.
Нетрудно показать, что гамильтониан цепочки Тоды после исключения центра
масс приводится к виду (6.9). Этот же вид имеют гамильтонианы в ряде
задач космологии [20].
§ 7. Неголономные системы
Как было сказано в п. 9 § 1, уравнения движения неголоном-ных систем в
общем случае нельзя свести к уравнениям Гамильтона. Однако в некоторых
частных случаях это оказывается возможным. Приведем некоторые примеры.
52
§ 7. Неголономные системы
1. Опишем неголономную систему Чаплыгина с двумя (него-лономными)
степенями свободы. В этом случае лагранжевы координаты qi,q2,... ,qn
можно выбрать так, чтобы уравнения связей
(1.4) приняли вид
причем коэффициенты aj,bj, а также лагранжиан L = Т - V не зависят явно
от q-z,...,qn. Нетрудно дать инвариантное описание систем Чаплыгина в
геометрических терминах расслоенного пространства.
Уравнения (1.11) для координат 91,92 отделяются, и их можно привести к
следующей системе двух уравнений второго порядка:
Здесь L*-функция от 91,92, получающаяся из L подстанов-
кой (7.1); в выражении для S также учтены формулы (7.1).
Чаплыгин [170] доказал, что если система (7.2) имеет интегральный
инвариант с плотностью /(91,92), то ее решения 91(t), q2(t) являются
экстремалями следующей вариационной задачи:
уравнения (7.2) приводятся к каноническим уравнениям Гамильтона. Чтобы
получить функцию Гамильтона, надо в выражении для лагранжиана L* сделать
замену времени (7.4), а затем выполнить обычное преобразование Лежандра.
Условия существования интегральных инвариантов гладких динамических
систем изучены в работе [95].
2. Упоминавшаяся в п. 10 § 3 задача о качении неоднородного шара по
горизонтальной плоскости является системой Чаплыгина с тремя степенями
свободы. Фиксируя значение интеграла площадей и исключая вращения шара
вокруг вертикальной прямой, проходящей через точку контакта, число
степеней свободы можно понизить до двух. Если постоянная площадей равна
нулю, то можно показать, что приведенные уравнения имеют вид
(7.2). Вспоминая наличие интегрального инварианта с плотностью
9, = a3-9i + 6,92 , / = 3,..., п
(7.1)
d dL* 8L*
dt dq\ dqi
-7^ = 42 S,
d BL* ВТ,*
dt dq2 oq2
(7.2)
(7.3)
Если / > 0, то заменой времени
dr = f dt
(7.4)
53
Глава I. Гамильтонова механика
(3.23), можно привести эти уравнения с помощью замены времени к
уравнениям Гамильтона.
3. Следуя Г. К. Суслову [154, гл. 53], рассмотрим задачу о вращении
вокруг неподвижной точки твердого тела с неинтегрируе-мой связью (а, w) =
0, где а - вектор, постоянный в подвижном пространстве. Пусть тело
вращается в однородном силовом поле; положим V = (Ь, у), b - const.
Запишем неголономные уравнения движения (1.11) в форме уравнений Пуанкаре
на алгебре so(3):
Iw + w х Iw = 7 х b + pa , 7+шх7 = 0, (a,w) = 0 . (7.5)
Нетрудно показать, что если вектор а является собственным вектором
оператора I, то фазовый поток уравнений (7.5) сохраняет стандартную меру
в К6 = {02,7}. Как отмечено в [90], если 1а ф Ха, то при 6 = 0 система
(7.5) не имеет даже абсолютно непрерывной (по отношению к мере Лебега в
К6 = {077}) инвариантной меры. Поэтому будем предполагать, что и в общем
случае вектор а направлен вдоль одной из осей инерции тела; без
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed