Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Представленные в переменных со, они являются уравнениями на алгебре д
группы G, а в переменных т - на двойственном линейном пространстве д*.
Уравнения (2.3) будем называть уравнениями Эйлера - Пуанкаре. В качестве
комментария рассмотрим частный случай, когда G есть группа SO(3) вращений
твердого тела в трехмерном евклидовом пространстве вокруг неподвижной
точки. Хорошо известно, что ее алгебра д = so(3) изоморфна алгебре
векторов трехмерного ориентированного евклидова пространства со
стандартным векторным произведением. В качестве левоинвариантных базисных
векторных полей возьмем поля, порождаемые вращениями твердого тела с
единичными угловыми скоростями вокруг трех связанных с телом
ортогональных осей. Тогда [мьмг] = из, [иг, из] = щ, ["з,щ] = иг-
Уравнения (2.3), как легко понять, будут системой
d 8Т дТ
динамических уравнений Эйлера: - тг- = со х -- или
dt olo ош
1й = и> х 1ш . (2-4)
Здесь ш - вектор угловой скорости тела, I = ||/у||-тензор инерции. Это
наблюдение принадлежит Пуанкаре [227].
4. Уравнения (2.3) являются частью гамильтоновой системы, описывающей
движение по геодезическим левоинвариантной метрики Ijj. Вычислим скобку
Пуассона двух функций F и G, заданных на дуальном пространстве д*. Для
этого надо рассмотреть гамильтонову систему с гамильтонианом F и
вычислить производную от функции G в силу этой системы. В переменных m,q
эти уравнения Гамильтона имеют вид уравнений Четаева (2.2): 8F
rhh - У' сГто,--. Так как G не зависит от q, то замыкающую 1 ami
группу уравнений нет смысла записывать. Следовательно,
f) р
6 = {0,F}=X:^m,-^aS;. (2.5)
Итак, скобка Пуассона функций на д* также является функцией на д*. Эта
скобка удовлетворяет свойствам 1)-3) скобки Пуассона, но может быть
вырожденной (поскольку рассматриваются функции специального видана TG =
Gxg). Скобка (2.5) называется скобкой Ли - Пуассона; она впервые была
рассмотрена Ли в его теории групп преобразований. Если F и G линейны по
"моментам" т, то
28
§ 2. Уравнения Эйлера - Пуанкаре на алгебрах Ли
их скобка {F, G} также линейна по т. Следовательно, пространство линейных
функций на д* (канонически изоморфное алгебре д) является алгеброй Ли
относительно скобки Ли - Пуассона; эта алгебра, конечно, изоморфна
алгебре д.
В задаче Эйлера о свободном вращении твердого тела скобка Ли - Пуассона
задается соотношениями
{m1,m2} = m3, {m2,m3} = m1, {m3,m1} = m2. (2.6)
Эта скобка вырождена: функция k2 = m2 + + т| коммутирует
со всеми функциями на (so(3))*.
Относительно скобки Ли - Пуассона уравнения Эйлера - Пуанкаре имеют
гамильтонов вид:
тп,- = {т,-, Н} , Н=(1~1т,т}/2. (2.7)
Эти уравнения, однако, не являются "настоящими" уравнениями Гамильтона
ввиду вырожденности скобки { , }. Пусть Д),..., Fr - интегралы уравнений
(2.7), независимые на интегральном многообразии АД = {т ? д* : F, = с,, 1
^ г ^ г} и коммутирующие со всеми функциями на д*. Ограничим скобку Ли -
Пуассона { , } и функцию Гамильтона Н на АД; ограничения обозначим { , }'
и Н'. Уравнения (2.7) на АД снова будут иметь гамильтонов вид: F = {F,
Н'}1, F : Мс -> К. Если скобка { , }' (удовлетворяющая свойствам 1)-3)
скобки Пуассона) окажется невырожденной на АД, то мы получим обычную
гамильтонову систему на симплектичес-ком многообразии (АД,{ , }') с
функцией Гамильтона Н'. Общая теория сведения уравнений Эйлера - Пуанкаре
к уравнениям Гамильтона изложена, например, в книге [11, добавление 2].
Вернемся вновь к задаче Эйлера. В некоторых ортогональных осях (осях
инерции) квадратичная форма Т = (ДщиД/2 имеет вид Т = (Да>2 + /2о>2 •¦(-
До>3)/2. Запишем в этих осях уравнения Эйлера
(2.4): 1\Ш\ = (Д -/2)w3u;2, Дс1>2 = (Д - Д)иди;3, /3й3 = (Д - Д)
Они имеют интеграл момента к2 = (Дад)2 + (Д^2)2 + (Д^з)2- Напомним, что
эта функция коммутирует со всеми функциями на дуальном пространстве
(so(3)) . Поверхность уровня этого интеграла АД = {о> : к2 = с2} при с >
0 является двумерной сферой. Покажем, что ограничение скобки Ли -
Пуассона (2.6) на АД задает стандартную симплектическую структуру (2-
форму ориентированной площади сферы АД). Пусть F = f\m\ + /2m2 + /3m3 -
линейная функция с постоянными коэффициентами. Оператор vp = = {F,-}
является дифференцированием. Представляя его в виде
Л д
> а,--, получим, что числа а, являются компонентами вектора ,=1 ото,-
29
Глава I. Гамильтонова механика
т х /. Аналогично, функции G = Y/ д3гrij отвечает вектор то х д. Так как
(dF dG\
Ш' дгп Х дт) ^ Х ^ ' ^2'8^
то, следовательно, значение 2-формы на векторах то х / и то х х ^ равно
смешанному произведению векторов то, / и 5. Пусть / и ^ касаются сферы Мс
- {то2 - с2}. Тогда векторы ? = m х / и 7] = т х g также касаются Мс. По
формуле (2.8) имеем
(2.9)
где п - единичный вектор нормали к Мс. Эта формула задает (с точностью до
постоянного множителя) обычную форму площади на Мс.
Согласно теореме Дарбу, уравнения Эйлера на Мс можно привести к
каноническим уравнениям Гамильтона. Это можно осуществить явно, вводя
