Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
f 7i +72 /
Здесь /2 = 7i + 72 +7з- Гамильтониан приведенной системы равен Я = (Дсс?
+ 12ш\ + Лее|)/2 + Г, где вместо Лееь Лее2 и Л^з подставлены их выражения
через р,,7,- с помощью формул (3.11). Наиболее простой вид гамильтониан
имеет в случае М = 0:
Н =
2/2
(Р273 - Р372)^ (рз71 ~ Р17з)2
Л
+
(pi72 -Р271)2 Л
+ Г(71,72,7з) • (3-12)
В случае Эйлера (Г = 0), как известно, сохраняется квадрат модуля
кинетического момента
(I\u>i)2 + (Лее2)2 + (Л^з)2 =
_ 1 ~ Т2
г2-[(Р27з - Pill)2 + (Рз71 " Р17з)2 + (Pi72 - P27i)2] •
38
§ 3. Движение твердого тела
Интересно отметить, что эта функция является гамильтонианом канонических
уравнений задачи о движении точки массы m = 2 по инерции по неподвижной
сфере 7i + + 7з = 1 > записанных в ес-
тественных избыточных координатах 7,-,р* (1 ^ г ^ 3) (см. (1.10)).
7. Рассмотрим группу Е{3) движений твердого тела в трехмерном
ориентированном евклидовом пространстве и ее алгебру е(3). Ясно, что dim
Е(Ъ) = 6. Выберем в твердом теле ортонормирован-ный базис с началом в
некоторой точке О. Постоянным вращениям тела с единичной скоростью вокруг
векторов базиеа отвечают левоинвариантные поля гц, ц2, на группе jE(3).
Точно так же движениям твердого тела, при которых скорость точки О
постоянна и равна одному из векторов выделенного базиса, отвечают
левоинвариантные поля щ,и2,и3. Ясно, что поля Vi,Uj всюду линейно
независимы. Можно показать, что структурные константы алгебры е(3)
определяются таблицей
[тг',Ту] = ^ ^ -0кUк , [тг', Uj\ ^ ^ -Цк^к , 0 •
(3.13)*
к к
Здесь числа е^к равны 1, если перестановка i,j,k-четная, равны - 1, если
она нечетная, и, наконец, обращаются в нуль, когда среди индексов i,j,k
есть совпадающие.
Пусть ш - вектор угловой скорости твердого тела, и - вектор скорости
точки О. Если лагранжиан С есть функция только от ш и г, то уравнения
Пуанкаре (2.1) с учетом коммутационных соотношений (3.13) можно записать
в векторном виде:
d дС дС дС d дС дС
dtduj ~ дш Х Ш + до Х " ' dtdv~dvXUJ' ^
От уравнений (3.14) можно перейти к уравнениям Четаева:
эп дп . дп
т = т х Ь рх - , р = р х - , (3.15)
от ор от
где т - д?/ди>, р = дС/дн, "К - функция от т и р. Как известно из
гидродинамики [115], такой вид имеют уравнения движения твердого тела в
безграничном объеме идеальной жидкости, покоящейся на бесконечности и
совершающей безвихревое движение. При этом функция К является
положительно определенной квадратичной формой:
(Ат,т)/2 + (Вт,р) + (Ср,р)/2 . (3.16)
Операторы А и С, разумеется, симметричны. Уравнения (3.15) с функцией
Гамильтона (3.16) получены Кирхгофом (1870 г.). Уравнения Кирхгофа в
общем случае содержат 21 параметр. Приводя оператор А (или С) к
диагональному виду, их число можно
39
Глава I. Гамильтонова механика
уменьшить на три. Векторы тир называются соответственно импульсивным
моментом и импульсивной силой.
Отметим, что уравнения Эйлера - Пуассона (3.3) можно записать в виде
(3.15), если положить 'Н = (I~1m,m)/2 + V(p). Это замечание принадлежит
В. А. Стеклову (1901 г.), указавшему, что задача Тиссерана является
частным случаем задачи Кирхгофа.
Скобка Ли - Пуассона для алгебры е(3), порожденная соотношениями (3.13)
при соответствии т,- <-+ п, и pj <-¦ вырождена: функции (т,р) и р2
коммутируют со всеми функциями на (е(3)) ; они же являются первыми
интегралами уравнений Кирхгофа для всех гамильтонианов Н, поэтому к
уравнениям Кирхгофа можно применить соображения, изложенные в п. 4 § 2.
Рассмотрим четырехмерные интегральные поверхности Мс = {т,р : (т,р) = =
ci, (р,р) = сг} (сг > 0), диффеоморфные, как легко видеть, касательному
расслоению двумерной сферы. Ограничение скобки Ли - Пуассона на Мс
является невырожденной скобкой Пуассона, которая превращает Мс в
симплектическое многообразие. Поэтому уравнения Кирхгофа на Мс являются
гамильтоновой системой дифференциальных уравнений с гамильтонианом Ti,
ограниченным на Мс\ этот факт отмечен в работе [140] и одновременно в
работе [84] для случая ci = 0. Особенно наглядно эта конструкция выглядит
при ci = 0. Положим т = ехр. Если (т,р) = 0 и (р,р) > > 0, то вектор е
существует и единственен с точностью до сдвигов вдоль вектора р. Положим
К(р,е) - Н(ехр,р). Утверждается, что если функции e(t) и p(t)
удовлетворяют каноническим уравнениям ё = -дК/др, р = дК/де, то функции
m(t) = e(t) х p(t) и p(t) удовлетворяют уравнениям Четаева (3.15). Для
доказательства вы-
8К ЭНдт ЭН m
числим сначала р = -- = ц- = Р х -х-• ^ак как па = с
х р,
ое от ое от
дК _ дН
' др др
дНдт ЭН дН + --==- + - хе. Значит, т от Ор др дт
( дН\ дН . , ЭН дН ЭН
+ex(pxs^)=pxW + {cxp)'^ = mx^+TXW'"TO
и требовалось доказать. Этот формальный результат дополняет вычисления п.
6.
8. Известно, что "нейтральный" ферромагнетик при вращении становится
намагниченным вдоль оси вращения (эффект Барнетта, имеющий
квантовомеханическое происхождение [72]). Магнитный момент тела В связан
с его угловой скоростью ш соотношением В = Аса, где А - некоторый
