Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
случаях (а) и (в) на каждом эллипсоиде интеграла энергии 52 m,Wi = h > 0
имеется асимптотически устойчивое положение равновесия. Подчеркнем, что
сформулированные выше условия существования инвариантной меры
определяются лишь структурой алгебры g и не зависят от выбора
левоинвариантной метрики.
Неунимодулярная группа, как известно, всегда имеет унимоду-лярный
нормальный делитель коразмерности единица [34]. Пусть {е*} - базис в д,
причем векторы ei,..., en_i образуют базис в соответствующем
"унимодулярном" идеале алгебры д, а вектор еп ортогонален ei,..., en_i в
метрике /ц.
Предложение 3. Если все собственные числа (п - - 1) х (п - 1)-матрицы А =
||с^|| (c*ik -структурные константы, k, s < п) лежат в левой (или правой)
полуплоскости, то уравнения
(2,3) не имеют инвариантной меры с суммируемой плотностью.
Это утверждение вытекает из того факта, что равновесие т, = 0 (s < n), т"
= const ф 0 асимптотически устойчиво (при L -> +оо или t -> -оо) на
соответствующей поверхности интеграла энергии.
§ 3. Движение твердого тела
1. Предположим, что твердое тело с неподвижной точкой вращается в
силовом поле с потенциалом V. Пусть а,/3,7 - векторы неподвижного
ортонормированного репера, рассматриваемые как векторы связанного с телом
подвижного пространства. Поскольку они однозначно определяют положение
тела в неподвижном пространстве, то потенциал V можно считать функцией от
а,/3,7-Запишем уравнения Пуанкаре, приняв в качестве пространства
положений группу 50(3). Пусть снова (как и в п. 3 § 2) щ,щ, щ обозначают
левоинвариантные векторные поля на группе 50(3), порождаемые постоянными
вращениями тела вокруг главных осей инерции с единичной скоростью.
Вычислим щ(У) - производные от потенциала вдоль щ. Пусть ш' - вектор
угловой скорости с координатами (относительно осей инерции) 1,0,0. При
вращении со скоростью о/ векторы а, /3,7 изменяются в соответствии с
геометрическими уравнениями Пуассона: о: = ах а/, /3 = /3 х а/, 7 = 7 х
а/. Следовательно,
(,8V 8V 8V
= (i'-aJx"+"?x'3 + WX7
2 Козлов В. В.
33
Глава I. Гамильтонова механика
Аналогичные формулы справедливы и для m(V), щ(У). Полагая в уравнениях
(2.1) С = Т - V, приходим к уравнениям
d дТ дТ 8V а 8V 8V ,Q .
ад+7Х5Г (ЗЛ)
Дополняя их уравнениями Пуассона
а=ахш, $ =/3 х ш , 7=7 хш, (3-2)
получим замкнутую систему уравнений вращения твердого тела. Эти уравнения
получены Лагранжем в его "Аналитической механике" (1788 г.).
Если поле осесимметрично (V зависит, скажем, лишь от 7), то из (3.1),
(3.2) получаем замкнутую систему уравнений Эйлера - Пуассона:
8V
1ш + lo х 1и> = 7 х -- , 7 = 7 х и> . (3.3)
д'у
2. Если твердое тело закреплено в его центре масс и на него действуют
силы гравитационного притяжения удаленных тел, то с большой точностью
потенциал V можно аппроксимировать квадратичной формой
?1 (1а, а) + ?2(//М) + ?з(Дл) , (3-4)
где I - оператор инерции твердого тела, постоянные е,- зависят от
распределения масс удаленных гравитирующих тел (см., например, [157]).
Если тело вращается в гравитационном поле одного
удаленного центра, то в (3.4) надо положить е\ = ?2 = 0. Эта за-
дача впервые рассмотрена Тиссераном (1872 г.), установившим ее
интегрируемость (по методу интегрирующего множителя Эйлера- Якоби). Общий
случай потенциала (3.4) рассмотрен Вруном [183]. Им найдены три
инволютивных интеграла, которых достаточно для полной интегрируемости
системы (3.1)-(3.2). Явное интегрирование задачи Вруна в 0-функциях
выполнено О. И. Богоявленским [181].
Вопросы интегрирования уравнений движения твердого тела
(3.1)-(3.2) в различных силовых полях рассмотрены в работах [22, 44,
175].
3. Предположим, что тело вращается в однородном поле силы
тяжести. Пусть ? - масса тела, ? радиус-вектор его центра масс
в подвижном пространстве. В этой задаче V = s(r, 7), и уравнения Эйлера -
Пуассона (З'.З) имеют вид
I(jj + ш х 1и = ?7 х г , 7=7 х lo . (3-5)
34
§ 3. Движение твердого тела
Эти уравнения зависят от шести параметров: ег\, ег2, егз,
где Ii - главные моменты инерции, а гг- - координаты центра масс
относительно осей инерции.
4. Рассмотрим группу Sp( 1)-мультипликативную группу кватернионов q =
х + & + VJ + с единичной нормой: х2 + ?2 + р2 + + С2 - 1- Каждому такому
кватерниону соответствует линейное отображение Tq алгебры всех
кватернионов К на себя, определенное формулой Tg(r) = qrq~l (г ? К).
Легко проверить, что Tq отображает множество чистых кватернионов (у
которых X - 0) на себя. Если отождествить это множество с евклидовым
пространством IR3, то Tq будет ортогональным преобразованием К3 -> -> К3.
Рассмотрим теперь твердое тело с закрепленной точкой. Зафиксируем
некоторое положение этого тела. Тогда его поворот из начального положения
в произвольное задается некоторым ортогональным преобразованием,
которому, в свою очередь, соответствует некоторый кватернион q € S'p(l).
Таким образом, каждому кватерниону q € Sp( 1) можно поставить в
соответствие положение твердого тела с неподвижной точкой, причем
