Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
ограничения общности можно считать, что а имеет компоненты 0, 0,1.
Уравнения (7.5) проинтегрированы в работе [168] в предположении
ортогональности векторов а и Ь. Мы рассмотрим противоположный случай,
когда b = га, г ф 0.
Два первых динамических уравнения системы (7.5) с учетом уравнения связи
о>з = 0 имеют вид Дад = ?72, I20J2 = ~?7ь от" куда I\W\ = ?72, I2&2 = -
?71- С помощью уравнений Пуассона 71 = -^27з, 72 = ^17з получим, что
Интеграл энергии {I\w2 + /2^2)/2 + ?7з = h позволяет выразить 7з через w\
и W2- После этого уравнения (7.6) можно перепи-
Т + V = const, Т - ^(I2w2 + /|^|): постоянная которого для реальных
движений равна г2/2.
Замена /,uy = mсоответствующая переходу от угловой скорости к
кинетическому моменту, сводит рассматриваемую задачу о вращении твердого
тела к задаче о движении материальной точки в потенциальном силовом поле:
I\W\ - ?7зо>1 , /2^2 = ?73^2 ¦
(7.6)
сать в виде уравнений Лагранжа Ifwi = - -- (г = 1,2), V =
d^i
Эти уравнения имеют интеграл энергии
I^m\ + I2lm2\2
) • (7-7)
2
54
§ 8. Некоторые задачи математической физики
При I\ = I2 будем иметь движение точки в центральном поле. В этом случае
уравнения движения интегрируются в эллиптических функциях времени.
Подчеркнем, что (в отличие от теории приводящего множителя Чаплыгина)
указанное сведение уравнений (7.5) к уравнениям Лагранжа (или Гамильтона)
не использует замену времени. Однако роль лагранжевых координат играют
компоненты угловой скорости или момента твердого тела.
§ 8. Некоторые задачи математической физики
1. Из гидромеханики известно [115], что движение п точечных
(цилиндрических) вихрей на плоскости (в пространстве) описывается
следующей системой 2п дифференциальных уравнений:
дН . дН
•X, = ~W,' Гл = ш,'
н = V ГДД In y/(xg - xk)2 + (yg - ykУ .
2ж^к
(8.1)
Здесь (xg,yg)-декартовы координаты s-го вихря интенсивности Г,.
Предполагается, что все Га отличны от нуля. Уравнения (8.1) гамильтоновы:
симплектическая структура в К2п = {х,у} зада-
* - гг fr\ V- 1 (д? д9 д? д9 \ и
ется скобкой Пуассона {f,g} = Ь fr ~ )' ро'
ме функции Гамильтона Н, они имеют еще три независимых интеграла: Рх =
53Гвж", Ру = 53 Гвув, М = 53 Г* (ж* + у])/2. Легко проверить равенства
{Рх,Ру} = - 53 Г* = const, {РХ,М} = -Ру, {РУ,М} = Рх. Если сумма
интенсивностей системы вихрей равна нулю, то функции Рх и Ру коммутируют.
Уравнения (8.1) можно привести к обычным каноническим уравнениям, если
положить ?, = \/±Г8 хв, г], = у/Н^У. (* = = 1,...,п). Здесь знак "+"
выбирается при Г > 0, а знак " -" - при Г < 0. Через К обозначим функцию
Н, представленную в переменных ?,77. В новых координатах уравнения (8.1)
имеют вид
= pdK/dr]S) г), = ±8К/с)Г, (1 ^ s ^ п).
Гамильтонова система (8.1) представима в виде градиентной динамической
системы. Пусть ( , ) - риманова метрика на многообразии М, Ф - функция на
М. Дифференциальные уравнения х - и(х) на М называются градиентными (или
эволюционными), если
(*,¦) = <№(•)• (8.2)
55
Глава I. Гамильтонова механика
Градиентные системы изучались Ляпуновым в теории устойчивости, С. Смейлом
с точки зрения структурной устойчивости, а также Р. Томом и его
последователями в теории катастроф.
Полагая (рис. 7)
У
<pks = arctg
2/, - Ук
Рис. 7
1 $ S $ п .
(8.3)
X" - хк
перепишем уравнения (8.1) в виде (8.2):
г . _дФ_ . _ ЗФ
к п 1 *¦ иУ* о '
ох9 uys
Риманова метрика в Ш2п = {ж, у} задается формулой
,(dx2t + dy2,) .
Из (8.2) вытекает, что Ф = \дФ/дх\I, где | • |,-длина ковектора в
дуальном пространстве. Следовательно, если Ф - однозначная функция, то
Ф(ж(?)) при t -+ +оо стремится либо к +оо, либо к некоторой постоянной с
(когда М компактно, с - критическое значение функции Ф). Поэтому при t ->
+оо решение x(t) либо уходит на бесконечность, либо неограниченно
приближается к множеству критических точек функции Ф.
В нашем случае функция Ф многозначна. Поэтому результат об
асимптотическом поведении решений системы (8.3) здесь неприменим. Однако
непрерывная ветвь функции Ф с ростом t либо неограниченно возрастает,
либо монотонно стремится к некоторой постоянной.
2. Плоские течения однородной идеальной жидкости в потенциальном поле
описываются известными уравнениями Эйлера
u't + и'хи + uyv + f'x = 0 , v't + vxu + v'yv + /' = 0 . (8.4)
Здесь и, v обозначают компоненты скорости частицы жидкости в точке с
декартовыми координатами х,у в момент времени t\ f = = р/р+ V, р -
давление, р - плотность, V - плотность потенциальной энергии силового
поля. Уравнения (8.4) следует дополнить уравнением неразрывности
< + К = 0 . (8.5)
56
§ 8. Некоторые задачи математической физики
Будем искать решения системы (8.4), (8.5) в следующем виде: и = ,
v = -Ф). + е cos At ;
е, А = const , / = ? sin At + г] cos At + ( .
(8.6)
Здесь Ф, ?, г/ и ? - пока неизвестные функции от ж и у. При этом движение
частиц жидкости описывается уравнениями Гамильтона
х = Н' у = -Н'х
Н = Ф - еж cos At
(8.7)
При е = 0 система (8.7) интегрируется в простых квадратурах.
