Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
траектории. На этих траекториях поля и и v линейно зависимы. В противном
случае Л( и Л2 пересекались бы по двумерным аналитическим площадкам и
поэтому совпадали бы по свойствам регулярности и аналитичности. Отсюда
вытекает, в частности, что и и v линейно зависимы во всех точках Aj" и
Л^". Выше было показано, что в предположениях теоремы 1 объединение Aj" U
Л2 -ключевое множество в М. Следовательно, векторы и(х) и v(x) зависимы
при всех х € М. Так как v ф 0, то и = Аг>, и функция А - интеграл
уравнений (2.1). Поскольку А - аналитическая функция на М, то А - const,
что и требовалось доказать.
Отсутствие аналитических интегралов в предположении о несовпадении
пересекающихся асимптотических поверхностей фактически доказано Р.
Кашменом [189] (он, правда, рассматривал неавтономные гамильтоновы
системы с одной степенью свободы). Несуществование нетривиальных групп
симметрий установлено в [101]. Ясно, что в гамильтоновом случае из
результата об отсутствии групп симметрий вытекает результат об отсутствии
новых интегралов.
2. Применим результаты п. 1 к неавтономным гамильтоновым системам с
одной степенью свободы. Пусть 2 = (х,у)-симплек-тические координаты, и
пусть Н = Но(г) + sH\{z, t) + ... - функция Гамильтона, периодическая по
t. Предполагается, что при е = - 0 имеются две гиперболические
критические точки функции Гамильтона Н0, соединенные
двоякоасимптотической траекторией zo(t) (см. п. 4 § 1). Из теоремы 1 и
результатов § 1 вытекает
Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:
1) fZ{Ho,Hl}(z0(t),t)dt7^0¦
2) при малых е возмущенная система имеет двоякоасимптотическое решение t
-> близкое к t -* zo(t).
Тогда при малых значениях е ф 0 возмущенная гамильтонова
262
§ 2. Теоремы о неинтегрируемости
система неинтегрируема (не имеет нетривиальных аналитических интегралов и
полей симметрии, периодических по t).
В гомоклинном случае второе условие можно снять. Действительно, как
показал Пуанкаре [146], при малых е возмущенная задача всегда имеет
гомоклинные решения (если, конечно, они были при ? = 0). Рассуждение
Пуанкаре использует результат о сохранении площади при отображении за
период гамильтоновой системы (рис. 18). Пусть W±-линии пересечения
асимптотических поверхностей Л? с плоскостью t = 0. Предположим, что при
некотором достаточно малом ? ф 0 эти линии не пересекаются: между ними
имеется небольшой зазор. Пусть А - некоторый небольшой отрезок,
соединяющий две близкие точки, лежащие на W+ и W~
(см. рис. 18). При отображении за период g отрезок А
сдвинется
в направлении, отмеченном
стрелкой. Так как И/± инвариантны относительно g, то область D,
ограниченная участками кривых \V+,
W~ и отрезком А, перей- z,
дет в собственную подобласть (из D надо выбросить заштрихованный
криволинейный четырехугольник). Однако это противоречит равенству mes D =
mes g(D), где Рис. 18
mes - стандартная площадь на плоскости К2 = {ж, у}.
Пусть теперь имеется аналитическая автономная система с двумя степенями
свободы, и пусть Н = Ho + ?Hi+o(s) - функция Гамильтона. Предположим, что
в невозмущенной системе имеются две гиперболические траектории 71 и 72,
лежащие на одной и той же поверхности уровня интеграла энергии. Пусть Fq
- интеграл невозмущенной задачи, для которого dF0 - 0 в точках траекторий
7i и 72. В этой ситуации также справедлива теорема 2, только условие 1)
надо заменить на следующее:
(2.3)
Здесь скобка Пуассона вычисляется на двоякоасимптотической траектории
невозмущенной системы. Если dFo / 0 на периодических траекториях 71 и 72,
то интеграл (2.3) заменяется более сложным выражением (1.3).
Подчеркнем, что в теореме 2 речь идет о неинтегрируемости возмущенной
гамильтоновой системы при малых, но фиксирован-
/
J-С
{Го, Hi} dt ф 0.
263
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
ных значениях параметра е, е ф 0.
Приведем пример, показывающий, что в гетероклиннном случае из условия
расщепления асимптотических поверхностей еще не вытекает
неинтегрируемость возмущенных уравнений. Другими словами, в теореме 2
нельзя опустить условие 2).
2 2 yL COS^ X
Положим Н = ----------- t-^sinx. В силу автономности, функ-
/л ?
ция Н - первый интеграл уравнений движения при всех значениях е. Вычислим
интеграл
г
J -с
{H0,Hi]dt, (2.4)
взятый вдоль асимптотической траектории xa(t) невозмущенной системы:
xa(t) -> ±7г/2 при t -> ±оо. Так как {Но, Hi} = у cos а; и у = х, то
интеграл (2.4) равен
/{УО /и"
xacosxadt- / d (sina:a) = 2 -ф 0.
-ОО J-QQ
Картина расщепленных сепаратрис показана на рис. 19.
е=0 е>о
Рис. 19
3. Условия отсутствия полного набора инволютивных интегралов
многомерных гамильтоновых систем указаны С. В. Болотиным [28]. Рассмотрим
неавтономную гамильтонову систему с аналитическим гамильтонианом Н ~
Ho(z) + sHi(z, t) + o{e), периодическим по времени. Здесь z = (ж, у) -
набор 2п симплектических переменных. Предполагается, что невозмущенная
система имеет два гиперболических положения равновесия с различными
