Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
только дополнительное условие о непараллельности возмущающего поля и
прямой, содержащей А0.
В качестве приложения рассмотрим задачу о паре вихрей противоположной
интенсивности (см. § 8 гл. I). В некоторой равномерно движущейся системе
отсчета движение частиц жидкости описывается уравнениями Гамильтона с
гамильтонианом
гг Г (у . , 1х2 + {у~а)2\
""-2i(2a + [n\jZ^ + (y+")4'
277
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
V.
} \
•• Г/-- .
у •
Рис. 25
278
§ 4¦ Условия интегрируемости уравнений Кирхгофа
Вихри с интенсивностями Гi = -Г2 = Г ^ 0 расположены в точках с
координатами (0, ±а).
Ясно, что невозмущенное стационарное поле скоростей имеет две
гиперболические особые точки (±\/За, 0), соединенные тремя парами
сдвоенных сепаратрис (фазовый портрет системы изображен на рис. 8). Как
показано выше, эти пары сепаратрис расщепляются и трансверсально
пересекаются при добавлении малого возмущения гН\ - га; cos At для почти
всех значений А. При малых г ф 0 вблизи расщепленных сепаратрис будем
иметь "острова" с хаотическим поведением траекторий частиц жидкости.
На рис. 25 этот результат иллюстрируется численными расчетами для
значений Г, а и А, равных единице. Отмечены положения выделенных частиц
жидкости через промежутки времени, равные 27Г. Рис. 25, а соответствует
невозмущенной задаче. Явления расщепления сепаратрис и образования
стохастических слоев хорошо видны на рис. 25, б, в (им отвечают
соответственно значения е = = 0,1 и ? = 0,5). На рис. 25, г показана
отдельная траектория для значения г = 0, 5.
§ 4. Условия интегрируемости уравнений Кирхгофа
1. Применим результаты §§ 1, 2 к классической задаче об отыскании
новых интегралов уравнений Кирхгофа
дН дН дН
m = mx-+рх-, р = рх-,
от др дт (4.1)
Я = (Ат,т)/2 + (Вт,р) + (Ср,р)/2,
описывающих движение твердого тела в идеальной жидкости. Матрицу А можно
считать диагональной, А = diag(ai, а2, а3). Уравнения (4.1) всегда имеют
три интеграла: Я = Я, Яг = (т,р), Я3 = = (р,р). В работах В. А. Стеклова
[153] и А. М. Ляпунова [119] была решена задача о наличии дополнительного
(к функциям F\, Яг, Я3) независимого интеграла, имеющего вид квадратичной
формы по переменным т, р. Оказалось, что такой интеграл существует лишь в
интегрируемых случаях Кирхгофа, Клебша, Стеклова и Ляпунова (ср. с п. 3 §
5 гл. II). Задача о наличии нового аналитического интеграла уравнений
(4.1) существенно сложнее.
Теорема 1 [86]. Пусть числа щ, аг, а3 различны. Если уравнения Кирхгофа
имеют дополнительный (к функциям F\, Яг, Я;) независимый интеграл,
аналитический в К6 = (?п,р), то В = = diag(6b62,63) и
"Г1 (ь2 ~ Ь3) + а21 fa - 6i) + аз1 (б! - Ь2) = 0. (4.2)
279
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
При В = 0 независимый аналитический интеграл существует лишь в случае,
когда С = diag(ci,c2,C3) и
Заметим, что матрица В в интегрируемом случае Стеклова определяется
условием (4.2) (см. соотношение (5.6) гл. II). Условие
(4.3) дает интегрируемый случай Клебша (см. (5.5) в гл. II). Интересно
отметить совпадение вида условий (4.2) и (4.3).
Следствие. В общем случае уравнения Кирхгофа неин-тегрируемы.
Доказательство теоремы 1 основано на использовании явления расщепления
асимптотических поверхностей. Введем в уравнения
(4.1) малый параметр е, заменяя р на ер. На фиксированной четырехмерной
интегральной поверхности М2з = {(m,p) : F2 = /2, Fz = fi} уравнения (4.1)
будут гамильтоновыми с функцией Гамильтона Но + еН 1 + е2Н2, где Но, Н\,
Я2 - ограничения соответственно функций (Am,m)/2, (Bm,p), (Ср,р)/2 на
М2з- Это эквивалентно случаю, когда постоянная энергии f\ много больше /2
и /з (точнее, отношения /2//i и /з//2 - малые одинакового порядка). При е
= 0 снова имеем интегрируемую задачу Эйлера о движении свободного
твердого тела по инерции. Уравнения допускают два неустойчивых
периодических решения, вполне аналогичных (3.4):
Р2 = Р°2 - /г/т2, pi = acos(a2m2t), р3 = asin(a2m21), (4.4)
Пусть Fo - аналитический интеграл задачи Эйлера. Если несобственный
интеграл
вычисленный вдоль решений невозмущенной задачи, асимптотических к
периодическим решениям (4.4), не постоянен на асимптотических
поверхностях задачи Эйлера, то, согласно результатам § 2, при малых ? ф 0
уравнения Кирхгофа не имеют непостоянного аналитического интеграла и,
более того, не допускают нетривиальной аналитической группы симметрий.
Доказательство теоремы 1, таким образом, сводится к проверке
непостоянства интеграла (4.4), в котором удобно положить F0 = = (m, m)/2.
Когда В = 0, в формуле (4.5) вместо Н\ следует взять, конечно, i/2. Если
- (ш. т)/2, то интеграл J будет существовать
ф Чс2 - с3) + a21(ci - щ) + а3 1 (щ - с2) = 0. (4.3)
mi - mA = 0, m2 = m\ =-±v/2/i/a2
a2 = fi- (/2/m2)2 > 0.
(4.5)
280
§ 4- Условия интегрируемости уравнений Кирхгофа
лишь в смысле главного значения. В этом случае можно положить, например,
Fo = [(m,m) - а2{(Ат, m)]/2.
В качестве примера мы получим условие Стеклова (4.2) в наиболее простом
