Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
+ - sin rcos? = 0. (11.12)
Роль малого параметра играет величина /г-1. Из результатов п. 5 вытекает
наличие у уравнения (11.12) бесконечного числа различных семейств
невырожденных периодических решений, если энергия h достаточно велика.
Этот эффект препятствует интегрируемости уравнения (11.12).
251
ГЛАВА V
РАСЩЕПЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Невырожденные гиперболические инвариантные торы гамильтоновых систем
имеют асимптотические многообразия, сплошь заполненные траекториями,
неограниченно приближающимися к условно-периодическим траекториям на
гиперболическом торе при t -> ±00. В интегрируемых гамильтоновых системах
эти поверхности, как правило, попарно совпадают. В неинтегрируе-мых
случаях ситуация иная: асимптотические поверхности могут трансверсально
пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную сеть.
"Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить.
Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о
сложности задачи трех тел и, вообще, всех задач динамики, в которых нет
однозначного интеграла... " (А. Пуанкаре [146]).
В этой главе изложены восходящие к А. Пуанкаре способы доказательства
неинтегрируемости, основанные на анализе асимптотических поверхностей
гамильтоновых систем, мало отличающихся от вполне интегрируемых.
§ 1. Асимптотические поверхности и условия их расщепления
1. Пусть М2п - фазовое пространство, снабженное симплектической
структурой Q, Н = Н0 + еН\ + 0(е2)- функция Гамильтона. Предположим, что
при ? = 0 гамильтонова система имеет m-мерный гиперболический тор Т(tm) (см.
п. 5 § 9 гл. IV). Напомним, что в окрестности этого тора можно ввести
симплектические координаты х mod 2л, у, z~, z+ со следующими свойствами:
а) х= (хи...,хт), у = (т/i,... ,ут), z? = (z^,...,
б) f} = dy Л dx + dz~ A dz+;
в) T?* = {(x, y, z~, ~+) G M2n: у = 0, = 0};
r) tf0 = (v,y) + (Ay,у)/2 + (z~,Bz+) + 03(y,z).
252
§ 1. Асимптотические поверхности и их расщепление
Здесь н - постоянный вектор, удовлетворяющий условиям "сильной"
несоизмеримости:
1(1/, fc)| > a\k\-^ fcezm\0, а,р> 0.
Квадратная матрица А постоянна и невырождена, а матрица В(х) размера (п -
т) х (п- т) такова, что для всех х mod 2л и ? € СГ1~т выполняется
неравенство
Re(C,i?C) MCI2, 0. (1.1)
Координаты ж, у, z* назовем каноническими для Г = Tq".
В дальнейшем наибольший интерес будут представлять случаи т = 0 и тп = 1.
При т = 0 гиперболический тор превращается в неустойчивое положение
равновесия z~ = z+ - 0, причем z~, z+ - сопряженные симплектические
координаты и Но = (z~, Bz+) + ..., В = const. В этих координатах
i" = -BTz~ + ..., z+ = Bz+ + ... (1.2)
Ввиду условия (1.1) собственные числа матрицы В (-В1) лежат в правой
(левой) полуплоскости (см. п. 4 § 9 гл. IV).
При m = 1 будем иметь неустойчивое периодическое решение. Ограничим
гамильтонову систему на (2п - 1)-мерную неособую энергетическую
поверхность, на которой лежит траектория этого решения. Уравнения (1.2),
по существу, являются уравнениями в вариациях для рассматриваемой
периодической траектории. Поэтому половина ее мультипликаторов лежит
внутри единичной окружности, а другая половина-вне ее.
Будем предполагать, что функция Гамильтона Н аналитически зависит от е.
Тогда по теореме о неявных функциях гиперболические положения равновесия
и периодические траектории не исчезнут при добавлении малого возмущения,
а лишь немного сместятся. При этом период каждого возмущенного
периодического решения не изменится. Оказывается, аналогичный результат
справедлив и для многомерных инвариантных гиперболических торов: по
теореме Граффа [198] при малых значениях параметра е возмущенная
гамильтонова система будет иметь инвариантный гиперболический тор Т'.'1 с
теми же частотами условно-периодических движений v = . Л'т) - const;
возмущенные торы Т(tm) анали-
тически зависят от с.
Можно показать [198], что каждый гиперболический тор Т"' лежит в
пересечении двух инвариантных лагранжевых поверхностей и Л", заполненных
траекториями гамильтоновой системы, неограниченно приближающимися к гору
Т"' соответственно при I -* +оо и f -+ -оо. Например, если отбросить в
разложении гамильтониана слагаемые ()¦ j(/y, :), то вблизи гора Т"'
поверхность
253
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
Л+ задается уравнениями у = 0. z+ = 0. Локальными координатами на Л+
служат переменные х mod 2л, z~. Ввиду (1.2) (с учетом
(1.1)) переменные экспоненциально быстро стремятся к нулю. Следовательно,
решения уравнений Гамильтона, траектории которых лежат на Л+,
экспоненциально быстро стремятся к условнопериодическим движениям по
гиперболическому инвариантному тору. Такие решения естественно назвать
асимптотическими. В соответствии с этим инвариантные многообразия
называются асимптотическими поверхностями. Поверхность Л+ (Л") называют
еще устойчивой (неустойчивой) асимптотической поверхностью
гиперболического тора Т(tm).
В случае двух степеней свободы мы имеем двумерные асимптотические
