Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
р = ef±{q,e). Поскольку Л? -лагранжевы поверхности, то df^ А
функции S±:Af -> К определены корректно (т. е. не зависят от выбора
координат р, q).
Согласно предположению п. 1, асимптотические поверхности Л? лежат на
одной энергетической поверхности Н = Ho(p,q) + + eH\{p,q)-\-o{e) = h(s).
Следовательно, функции S±(q,e) удовлет-
где Sp(q) = S±(q, 0), hi = ^|?=0 h. Из (1.5) получаем соотношение
A dq=-Q - 0. Поэтому f± =
е Ai dq
. Можно показать, что
воряют уравнению Гамильтона - Якоби Н В первом приближении по е имеем
(1.5)
256
§ 1. Асимптотические поверхности и их расщепление
+ #i(7(0) = hi. Следовательно,
Sfafo)) ~ 50±(7(ti)) = Г (#i - hi)l(t) dt. (1.6)
Jti
Лемма 1. Справедливо соотношение S\f - у = const -f +0(у, z).
Следствие. Выполняется равенство
{Fu {Fik, S± - x} • • •}} = 0(y, z) . (1.7)
Соотношение (1.7) вытекает из леммы 1 и того факта, что в окрестности
гиперболического тора каждый интеграл уравнений Гамильтона имеет вид
const+(1о> 2/) + Ог(у,z), где Уо = const (см. п. 5 § 9 гл. IV). Лемма 1
доказана ниже в п. 3.
Предположим, что асимптотические поверхности Л+ и Л~ совпадают. Тогда
- Sq) = 0. Функции Sq зависят лишь от q,
поэтому
{г;-а+- s+} = о, ц"чп. (1.8)
Используя (1.6) и лемму 1, получаем
-ААПЫО)) = fT{FuHi)b{t))dt-{Fust)b{T)) =
Jo
= lim
T-MX)
f {FuHi)b{t))dt - {FuX}b{T)) J 0
Аналогичная формула справедлива и для функции S0 . Поэтому
{F,S0}b(0)) - {Fi,Sg }(7(0)) = lib). (1.9)
Следовательно, пределы (1.3) для действительно, существуют, и условия
нерасщепления (1.8) принимают вид = ... = /" = 0.
Третье утверждение теоремы 1 доказывается с использованием теоремы о
неявной функции. Будем искать решение уравнений
Ж(Л " 1г(Л- (1'10)
В этом случае поверхности Л+ и Л" имеют непустое пересечение. Поскольку
функции 5* удовлетворяют одному и тому же уравнению Гамильтона - Якоби,
то одно из уравнений (1.10) зависит от остальных.
9 Козлов В. В. 257
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
Из (1.10) получаем равенства
{Fi, S+ - S~} = 0, 1 ^ i ^ п .
Скобки Пуассона вычисляются в точке (р, q), где
Из (1.9) следует, что соотношения (1-11) при е = 0 имеют вид /Д7) = ... =
In{l) = 0, где 7 - двоякоасимптотическая траектория невозмущенной задачи,
проходящая через точку (p,q) = = (0,9°). Если они выполнены, то наличие
решения уравнений
вычисленной в точке (р, q) = (0,д°). Ее элементы равны в точности
пределам Jij в (1.3). Матрица J вырождена, так как уравнения (1.11)
зависимы. С другой стороны, условие rank J - п - 1 обеспечивает
трансверсальное пересечение поверхностей Л+ и Л" по двоякоасимптотической
траектории 7?, близкой к 7.
Если Fi = Я0, то /1(7) = 0 для любого двоякоасимптотического решения 7
невозмущенной задачи. Действительно,
С другой стороны, в координатах, канонических для гиперболического тора
Е, имеем {Но,х} = (*Л (r)х/(r)х) + 0(у, z) - г]{х) - (р) + + 0(y,z). Остается
перейти к пределу при Т -> оо.
3. Докажем теперь лемму 1. В окрестности гиперболического тора Г
выберем на асимптотической поверхности А± координаты q = (х, zт), р = (у,
?*) + 02(zт). В окрестности ГЕ имеем
JT{H0= f dt = НЫТ)) - нм-T))
Поскольку Г? С (Л+ П Л?), то
{(ЗЛ(r)>*)
258
§ 1. Асимптотические поверхности и их расщепление
Следовательно, (5'(| - S0 )г = const. Соотношение Н|г? = const в первом
приближении по s имеет вид [у, )г) + v( х) = (77). По-
этому уравнения для функций \ и (^о )г совпадают. В частности, из-за
несоизмеримости частот щ,... ,нт они отличаются на константу. Лемма 1
доказана.
4. Наибольший интерес для приложений представляет случай ш=1,
рассматривавшийся еще Пуанкаре [146]. Обсудим кратко задачу о расщеплении
асимптотических поверхностей для неавтономных гамильтоновых систем,
периодически зависящих от времени. Пусть Н = Ho(x,y) + sHi(x,y, t) +
o(s). Возмущающая функция Н1 периодична по t с периодом т. Предположим,
что имеются две критические точки (х~,у~) и (х+,у+) функции Но, в которых
собственные значения линеаризованной гамильтоновой системы дНо . дНо
у = ---, х = -- отличны от нуля и не являются чисто мнимы-ох ду
ми. Следовательно, точки (х±,у±) - гиперболические положения равновесия.
Пусть, например, Н0 = Т + V - функция Гамильтона обратимой системы. Тогда
невырожденные локальные максимумы потенциальной энергии отвечают
гиперболическим положениям равновесия с вещественными собственными
значениями.
В расширенном фазовом пространстве переменных x,y,t mod т критическим
точкам соответствуют т-периодические ги-
перболические решения.
Пусть Aq (Ац) - устойчивое (неустойчивое) асимптотическое многообразие в
фазовом пространстве невозмущенной системы, проходящее через точку
(х+,у+) (соответственно (х~,т/~)). В расширенном фазовом пространстве
прямое произведение Ац х Т) будет асимптотической поверхностью Aq
соответствующего т-пе-риодического гиперболического решения.
Будем предполагать, что невозмущенная система вполне интегрируема: она
допускает п почти всюду независимых инволютивных интегралов Г),..., Fn.
