Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Пуассона интегрируемы (случай полной динамической симметрии и случай
Ковалевской).
s/Vh
sin ?
272
§ 3. Некоторые приложения
С помощью численных расчетов С. А. Довбыш показал, что уравнение (3.7)
имеет пересекающиеся сепаратрисы и при с = О (с - постоянная площадей);
этот результат нельзя, конечно, получить с помощью теории возмущений.
Перейдем к новой переменной времени т = у/2ht и положим ? = л/2 + х. В
новых переменных х, т mod 2тт уравнение (3.7) можно записать в виде
системы dx/dr = у, dy/dr - 2/isinr sin х, имеющей при всех h тривиальное
2 л-периодическое по т решение
х(т) = 0, у(т) = 0. (3.9)
С. А. Довбыш установил, что при h = 1 и h = 5/2 решение (3.9)
гиперболическое, и его устойчивая и неустойчивая сепаратрисы пересекаются
(рис. 23). По-видимому, сепаратрисы трансверсально пересекаются для всех
значений h, при которых решение (3.9) гиперболическое.
Рис. 23
5. Рассмотрим задачу о вращении твердого тела с несимметричным ротором
по инерции вокруг неподвижной точки, считая, что ротор может свободно
вращаться вокруг некоторой оси, жестко связанной с твердым телом (см. п.
9 § 3 гл. I). Эта система имеет, очевидно, четыре степени свободы;
пространством положений служит прямое произведение SO(3) х S1.
Гамильтоновы уравнения движения имеют четыре первых интеграла:
сохраняются полная энергия Я и три проекции (Fi, F2, F3) момента импульса
системы (тело + ротор) на оси неподвижной ортогональной системы отсчета.
Нетрудно проверить, что {Fi,F2} = F3, {F2,F3} = Fi, {F3, Fi} = F2.
Следовательно, функции Я, Fi, F2 = Ff + F22 + F32 находятся в инволюции,
и для полной интегрируемости уравнений движения нужен еще один
независимый интеграл, коммутирующий с функциями Я, F\ и F2. Так, если
ротор симметричен относительно своей оси вращения, то дополнительным
интегралом является проекция момента импульса
273
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
маховика на его ось вращения (задача Жуковского - Вольтерра).
Е. А. Ивин [67] методом расщепления сепаратрис доказал, что в общем
случае обсуждаемая задача неинтегрируема. Точнее, он рассмотрел вращение
твердого тела с ротором малой массы. Невозмущенной задачей является
интегрируемая задача Эйлера о свободном вращении твердого тела, имеющая
пару сдвоенных асимптотических поверхностей. При добавлении ротора
асимптотические поверхности расщепляются "неинтегрируемым" образом, что
влечет отсутствие новых аналитических интегралов и групп симметрий.
Результат о расщеплении сепаратрис был ранее получен Ж. Марсденом и П.
Холмсом [205] при дополнительных упрощающих предположениях: в точном
выражении функции Гамильтона отброшены некоторые слагаемые.
6. Методом расщепления асимптотических поверхностей можно установить
неинтегрируемость задачи о движении четырех точечных вихрей [61].
Рассмотрим ограниченную постановку задачи: вихрь нулевой интенсивности
(т. е. просто частица идеальной жидкости) движется в "поле" трех вихрей
одинаковой интенсивности. Тогда уравнения движения нулевого вихря можно
представить в гамильтоновой форме с периодическим по времени
гамильтонианом; они имеют гиперболические периодические движения с
пересекающимися сепаратрисами. Поэтому задача не будет вполне
интегрируемой, хотя (как и в неограниченной постановке) имеет четыре
независимых некоммутирующих интеграла.
7. Классические поля Янга - Милса для однородной двухкомпонентной модели
(см. § 8 гл. I) являются гамильтоновыми с функцией Гамильтона
Я = у'+у% + еЫ 2 2'
(3.10)
Уравнения Гамильтона
Xl + Х1Х2 = Х2 + х\х2
0, : 0
(3.11)
имеют неустойчивые "кноидальные" периодические решения
Х\ = Х2 = /,
XI
-х2
/; / = сп(*,1/л/2). (3.12)
274
§ 3 Некоторые приложения
Рассмотрим двумерное сечение трехмерной поверхности интеграла энергии, на
которой расположены решения системы (3.11), гиперплоскостью Х2 = 0.
Периодические траектории (3.12) пересекают это сечение в точках, которые
являются неподвижными при отображении Пуанкаре. Так как они имеют
гиперболический тип, то можно ставить вопрос о взаимном расположении их
устойчивых и неустойчивых сепаратрис. Эта задача исследована численно в
работе [138]. Результат представлен на рис. 24.
Ввиду квазиоднородности гамильтониана (3.10) точно такая же картина
трансверсальных сепаратрис имеется на всех энергетических поверхностях с
положительным значением полной энергии. В качестве следствия получаем,
что уравнения (3.11) не имеют дополнительного аналитического интеграла.
Этот результат был получен ранее в работе С. Л. Зиглина [64] с
использованием анализа ветвления решений системы (3.11) в плоскости
комплексного времени. На самом деле из трансверсальности пересечения
сепаратрис вытекает существенно более сильное утверждение об отсутствии
нетривиального аналитического поля симметрий гамильтоновой системы
(3.11).
8. Рассмотрим, следуя Б. В. Чирикову, "стандартное" симплек-тическое
отображение цилиндра х mod 2л, у, заданное формулами
х' = х + у' (mod 2л), у' = у+еsina\ (3.13)
