Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
интегральные кривые гамильтонова поля vp0 замкнуты (примером может
служить квадрат модуля кинетического момента твердого тела в задаче
Эйлера). Предположим, что при малых е возмущенная гамильтонова система с
гамильтонианом НЕ = Но + sH\ + + о(е) имеет две гиперболические
траектории, и 7|, соединенные двоякоасимптотической траекторией 7 с (0)
гладко зависящей от е. В [28] доказано, что если несобственный интеграл
Jqo (в (1.3) надо положить г = j = 0) отличен от нуля, то при достаточно
малых е^О система с гамильтонианом Н? не имеет полного набора
инволютивных аналитических интегралов на поверхности уровня Не = h, где h
= Н?(7?). Доказательство основано на сведении (при помощи интеграла Fo)
гамильтоновой системы к неавтономной с периодическим гамильтонианом. Было
бы интересно выяснить, следует ли из условий теоремы 3 несуществование п
аналитических коммутирующих векторных полей у возмущенной гамильтоновой
системы.
§ 3. Некоторые приложения
1. Рассмотрим вначале наиболее простую задачу о колебаниях маятника с
вибрирующей точкой подвеса. Функция Г амильтона Н равна Н0 + e#i, где Но
= у2/2 - w2cosx, Н\ = -w2f(t)cosx, a f(t) - 27г-периодическая функция
времени. При е = 0 верхнее положение маятника - неустойчивое равновесие.
Невозмущенная задача имеет два семейства гомоклинных решений:
cos Щ - ch-1 [u>(t - fo)b а'о -1' ±7Г при t -> ±оо. (3.1)
Так как {Но,Н\} = - w2f(t)xsh\x, то интеграл (2.4) с точностью
267
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
до постоянного множителя равен
/:
/(f) cos2 Щ- dt. (3-2)
Пусть / = Ylfnetni- Тогда (3.2) можно представить в виде ряда
/ОО gint
~Т2-7 dt ~ 9 и/-----То-\ (интеграл вы-
,х) chcat ш1&п\-кп/2ш)
числяется с помощью вычетов). Следовательно, если /(f) ^ const (т. е. fn
^ О при некотором пф 0), то интеграл (2.4) отличен от нуля хотя бы на
одном двоякоасимптотическом решении из семейства (3.1). Таким образом,
если /(f) ^ const, то, согласно результатам § 2, рассматриваемая задача
при достаточно малых (но фиксированных) значениях параметра ? ф 0 не
имеет первого аналитического интеграла F(y,x,t), 27г-периодического по х
и f.
2. Применяя этот метод, А. А. Буров исследовал задачу об интегрируемости
уравнения плоских колебаний спутника на эллиптической орбите:
, . d26 dS . . . .
(1 + ecos и)--т - 2esin v--I- psin <5 = 4esin u. (3-3)
dvl du
Здесь e - эксцентриситет орбиты; смысл остальных параметров разъяснен в
п. 3 § 4 гл. I. При е = 0 будем снова иметь интегрируемую задачу о
колебаниях обычного маятника. Пусть р ^ 0. Тогда, как показано в [36],
одна из пар сепаратрис невозмущенной задачи расщепляется, и поэтому при
достаточно малых значениях е > 0 уравнение (3.3) не имеет аналитического
интеграла, 27г-периоди-ческого по 6 и р.
3. В задаче о быстром вращении несимметричного тяжелого твердого тела
функция Гамильтона Н равна Но + ? /Уj, где
Н0 = (Ат,т)/2, Ну = r^i + r2yz + ПП, А = diag(ai, a2, а3).
Здесь m = 1и>- кинетический момент тела; числа щ, аг, аз об-ратны главным
моментам инерции. При е - 0 будем иметь интегрируемый случай Эйлера. В
этой невозмущенной задаче на всех некритических трехмерных поверхнос тях
уровня
Mh,c = {(m,7) : Н0 = h > 0, (m,j) = с, (7,7) = !}
существует два гиперболических периодических решения: если
268
§ 3. Некоторые приложения
"1 < "2 < "з, то
т\ = шз = 0, m2 = т° = ±y/2h/a2,
7i = acos{a2m°t), 73 = asin^mji), 72=7г=с/т2> (3.4)
а2 = 1 - (с/т(r))2.
Эти решения имеют прозрачный механический смысл: они совпадают с
неустойчивыми стационарными вращениями твердого тела вокруг средней оси
инерции в противоположных направлениях. Из неравенства (т,7)2 ^
(т,т)(7,7) и независимости классических интегралов на Мн,с вытекает, что
а2 > 0.
Устойчивые и неустойчивые асимптотические поверхности периодических
решений (3.4) можно представить как пересечение многообразия Мн<с
гиперплоскостями
F = т\у/а2 - ai ± т^у/аз - а2 = 0. (3-5)
В задаче Эйлера асимптотические поверхности "сдвоены": они сплошь
заполнены двоякоасимптотическими траекториями, которые при t -> ±00
неограниченно приближаются к периодическим траекториям (3.4). Расщепление
этих поверхностей изучено в работах [78, 62]. Оказалось, что при
возмущении асимптотические поверхности расщепляются всегда, кроме "случая
Гесса - Ann ель-рота":
г2 = 0, 77 у/а3 -а2± r-i\Ja2 - щ = 0. (3.6)
В этом случае одна пара сепаратрис не расщепляется, а другая расщепляется
(рис. 20). Причина нерасщепления состоит в том, что при выполнении
условия (3.6) возмущенная задача при всех значениях параметра ? имеет
"частный" интеграл - функцию F, определяемую соотношением (3.5) (F = 0
при F - 0). Можно показать, что замкнутые инвариантные поверхности
{Н = h, (ш,7) = с,
(7,7) = 1, F = 0}
при малых значениях ? будут как раз парой сдвоенных сепаратрис Рис.
20
возмущенной задачи [78].
В задаче о быстром вращении тяжелого несимметричного волчка расщепленные
сепаратрисы пересекаются, по-видимому, не всегда. Однако здесь применима
