Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
мера l'Vj(?0(J)) положительна, а мера множества iTj \ (J Wj(e) равна
нулю.
Этот результат распространяет на неавтономные системы теорему 2 из § 10.
Доказательство использует анализ классической схемы теории возмущений
гамильтоновой системы с функцией Га-мильтона (11.6), проведенный в [71],
а также обобщенный вариант теоремы 1 из п. 3, касающийся аналитических
гамильтонианов ви-
При n = 1 теорема 3 установлена в работе [71]. Точнее, при всех у ^ 0 из
плоскости 7Tj резонансные двумерные торы невозмущенной задачи распадаются
при добавлении возмущения, причем для малых ? / 0 возмущенная задача
имеет четное число невырожденных периодических решений. Половина из них
имеет гиперболический тип, а половина - эллиптический.
6. Применим результаты п. 5 к системам маятникового типа,
рассмотренным в § 4 гл. I.
а) Рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях математического
маятника, описываемых уравнением q + fl2(l) sin q = 0, Tt2 - Ц)(1 -
ecosut). Здесь lo0 = const > 0, e - малый параметр, v - частота
вынуждающей силы. Вводя канонический импульс р = = q, это уравнение можно
заменить системой уравнений Гамильтона с гамильтонианом Не = р2/2 - Vt2
cosq.
При е = 0 имеем вполне интегрируемую систему - - математический маятник.
В этой задаче можно перейти к переменным действие-угол /, mod 2л\
Здесь для определенности рассматривается область вращательных движений,
где Н0 >
да ?гНг{у) + ?kHk(x, у, <р) + о(?к).
1 /*^7Г
249
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
Возмущающая функция Н\ равна cos q cosi'f. Для разложения Hi в кратный
ряд Фурье по переменным и vt заменим во второй формуле (11.8) х на 2и.
Тогда
j'4'2 du 2 2и>2
Г ~ /- о / / ::.. ^ - 77 Г . ,2
= о < i_ у/Но + u;j) Jo \/\ - к2 sin2 и Но + u)q
. q у/а q у/а 2 у/а 2 у/а
Отсюда sin - = sn --w, cos - = cn --w, cos q = cn --ip-sn --w, 2 2cj
2 2cj 2 си 2lo
a= H0 + cUq- Так как
u7
i dl 1 I"2* dq
dHo 27г J0 y/Ho+Lul cos q
TO
= ...1- Г -_________________= jjS- (22,9)
TrvWo x/l - k2 sin2 n ;
9 К , К .
cosg = cn -(?> - sn -(p. (11.10)
7Г 7Г
Здесь К - полный эллиптический интеграл первого рода с модулем к.
Воспользуемся известной формулой Якоби: (A;K)2sn2--------------------=
7Г
= К2 - КЕ - 27Г2 cos2?tt, где q = ехр( - 7гК'/К); К' и
71=1 1 _ Я
Е - полные эллиптические интегралы первого и второго рода с модулями
соответственно у/\ - к2 и к. С учетом (11.10) получаем
OG
разложение функции Hi в ряд Фурье: Н\ = // /im,i(/) ехр[г(2гпу? +
(X)
+ ^0] + YJ hm,~i(I) ex.p[i('27mf - vt)]. Коэффициенты /im,±i легко
-'ХЭ
вычисляются с помощью формулы Якоби; они отличны от нуля.
Множество Пуанкаре Р" (см. § 1) в этой задаче состоит из значений
переменной действия I, удовлетворяющих резонансным соотношениям ±2тш(Г) +
v - 0 (n ? Ъ \ {0}). Согласно (11.9), частота
и) стремится к нулю при Но -* u>q. Заметим, что при Но = Ц) имеем
движение по сепаратрисам. Следовательно, множество Р* состоит из
бесконечного числа точек / ? К, накапливающихся у
Г - f2K /К7Г-.-----------7 , 40,-0
точки L
= (Г / "уА2(1 + cos q) dq -
27Г Jo 7Г
Легко проверить, что значения I 6 Р" удовлетворяют условиям теоремы
Пуанкаре о рождении пар невырожденных периодических решений при малых ? ф
0. Наличие бесконечного числа семейств
250
§ 11. Неавтономные системы
невырожденных периодических решений возмущенной задачи препятствует ее
интегрируемости.
б) Движение заряженной частицы в иоле двух одинаковых электрических волн,
движущихся навстречу Друг другу с одной и той же скоростью ш, описывается
уравнением
х = e[sin(T + оЛ) + sin(a; - cot)}. (11.ll)
Вводя импульс у = х, уравнение (11.11) можно представить в виде
канонических уравнений Г амильтона с гамильтонианом
Н = у2/2 - e[cos(.T + cot) + cos(t - iot)\.
Множество Д состоит из четырех векторов (±1,±1). При стандартном
лексикографическом упорядочении а - (1,1), 13 = (1, -1). Векторы ja + (3
имеют компоненты j + 1 и j - 1. При всех четных j ^ 0 эти целые числа
взаимно просты. Следовательно, согласно результатам п. 4, резонансные
торы u>(j + 1) + y(j - l) = О (j = = 0,2,4,...) разрушаются при малых
значениях г ^ 0. При j -* оо эти торы накапливаются у резонансного тора у
= -ш, который также разрушается при возмущении. Меняя лексикографический
порядок, можно получить последовательность разрушающихся резонансных
торов, накапливающихся вблизи прямой у = ш.
Резонансные соотношения у - ±о; в задаче о взаимодействии частиц с
волнами называются резонансами Ландау; соответствующие торы распадаются
уже на первом шаге теории возмущений. Численный анализ уравнения (11.11)
при е > 1 обсуждается в [56].
в) Ограниченная задача о вращении тяжелого твердого тела вокруг
неподвижной точки при равной нулю постоянной площадей описывается
каноническими уравнениями Г амильтона с гамильтонианом Н = ?72/2-|-sin
^х/2Тг t'j sin?. Здесь h - постоянная энергия.
Вводя новую переменную времени т = y/2h t, уравнение колебаний можно
переписать в виде, аналогичном (11.11):
