Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике" -> 108

Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике — Ижевск, 1995. — 432 c.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка): simmetriitopologiiirezonansa1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 172 >> Следующая

теорема 4 из § 2, с помощью которой можно установить отсутствие
дополнительного аналитическо-
269
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
го интеграла возмущенной задачи при малых, но фиксированных значениях
параметра е, е ^ О (С. JI. Зиглин [62]).
Более того, как установил С. А. Довбыш [49], в несимметричном случае при
малых е ^ 0 обязательно существуют двоякоасимптотические траектории (не
обязательно гетероклинные, как в невозмущенной задаче), причем
соответствующие пересекающиеся асимптотические поверхности не совпадают.
С учетом этого обстоятельства из теоремы 1 § 2 вытекает неинтегрируемость
возмущенной задачи в существенно более сильном смысле: уравнения движения
не допускают нетривиального аналитического поля симметрий. Этот результат
получен в работе [101].
(it =o,s
Рис. 21
Поведение решений возмущенной задачи исследовалось численно в работе
[196]. На рис. 21 показаны результаты вычислений при разных значениях
возмущающего параметра е. Хорошо видно, что картина инвариантных кривых
невозмущенной задачи начинает разрушаться именно в окрестности
сепаратрис.
При проведении расчетов для моментов инерции были взяты значения 1, 2, 3,
постоянная интеграла энергии h равна 50, а по-
270
§ 3. Некоторые приложения
стоянная площадей равна нулю. Были использованы специальные канонические
переменные L, G, I, д (см. § 2 гл. I). На рис. 21 изображены сечения
фазовых траекторий, лежащих на поверхности Н = 50, плоскостью д = const.
При г -
- 0 имеем уже известный нам фазовый портрет задачи Эйлера (см. рис. 1).
А. В. Борисов численно построил возмущенные сепаратрисы неустойчивых
периодических траекторий при тех же значениях моментов инерции и
постоянной интеграла энергии. Они изображены на рис. 22 (верхний рисунок
соответствует координатам центра масс твердого тела г\, гг, гз, равным 0,
1, 0, а нижний - 10, 0,
0). Хорошо видно, как начинают осциллировать расщепленные сепаратрисы при
приближении к неустойчивой периодической траектории.
4. Для динамически симметричного тела невозмущенная задача Эйлера не
имеет гиперболических периодических траекторий, поэтому метод расщепления
асимптетических поверхностей здесь непосредственно не применим. Однако
здесь можно по-другому ввести малый параметр и найти гомоклинные
траектории.
Для этого зафиксируем значения Д = /г, гз и заменим /3, Гу соответственно
на д/3, р,Г\ (0 < д ^ 1). В силу динамической симметрии координату гг
центра масс тела можно считать равной нулю. Устремляя д к нулю, получим в
пределе ограниченную задачу о вращении твердого тела (см. п. 5 § 4 гл.
I). Зафиксируем значение интеграла площадей с = (1и>, 7) и сведем
уравнения движения к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы.
Покажем, что если гi ф 0, а также с ф 0 или гз ф 0, то при достаточно
малых фиксированных д > 0 редуцированные уравнения
Рис. 22
271
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
не имеют дополнительного аналитического интеграла и нетривиальной
аналитической группы симметрий; это установлено в [92].
Мы докажем это утверждение в частном случае гз = 0 (при гз ф Ф 0
вычисления более громоздкие). В п. 5 § 4 гл. I введена вспомогательная
угловая переменная ?, которая при р. = 0 удовлетворяет дифференциальному
уравнению "маятникового" типа:
(3.7)
Здесь h - постоянная энергии. Предположим, что уравнения ограниченной
задачи имеют дополнительный интеграл, аналитический по переменным ш и j
(|-у| = 1). Учитывая явные формулы, выражающие ш, 7 через ? и t (см. п. 5
§ 4 гл. I), получаем, что уравнение
(3.7) допускает 27г-периодический по ? и (27г/\/2/1)-периодический по t
интеграл, аналитический по ?, ?, t. Однако на самом деле уравнение (3.7)
неинтегрируемо, если с2 близко к 2h.
Положим 1 -с2/(2/г.) = е2 и будем считать г малым параметром. Отметим,
что уравнение (3.7) имеет смысл и при г = 0, когда происходит вырождение
исходной задачи. Положив г] = представим
(3.7) в гамильтоновой форме: ? = Я' , jj = - Я( i
Я = #0 + е#! + о(е), Я0 = т?2/2 + cos^, Ях = sin^ sin(v/2/ii).
При е = 0 имеем невозмущенную интегрируемую задачу - математический
маятник - с семейством гомоклинных решений
sin(?/2) = ch-1(? - t0), т] = 2 ch-1(t - t0), t0 = const. (3.8)
Покажем, что устойчивая и неустойчивая сепаратрисы не совпадают при малых
е ф 0, что ведет, в свою очередь, к неинтегрируемости (3.7).
Действительно, интеграл /^{Яо, H^dt, вычисленный на двоякоасимптотических
решениях (3.8), не обращается тождественно, в нуль. Так, при to =
7г/(2%/2Я) он равен -47r/ich_1 (л y/2h/2), что отлично от нуля при h Ф 0.
Поскольку поведение расщепленных сепаратрис устойчиво относительно малых
изменений параметров, то при малых значениях р > 0 уравнения Эйлера -
Пуассона будут также иметь гиперболическую периодическую траекторию с
пересекающимися асимптотическими поверхностями. Согласно теореме 1 из §
2, это не совместимо с наличием дополнительного интеграла и нетривиальной
группы симметрий. Отметим, что при р = 1 и р = 2 уравнения Эйлера -
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed