Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
При е = 0 будем иметь интегрируемое отображение: координата у будет
интегралом, и все точки, расположенные на окружности у = = const,
поворачиваются при отображении на угол у. Таким образом, невозмущенное
отображение (3.13) не имеет гиперболических периодических точек. Однако
при всех ? > 0 точка х = у = 0 будет неподвижной точкой гиперболического
типа. Собственные значения (мультипликаторы) линеаризованного отображения
равны
1 + \ ± ^+ (|)2 = 1 ± >/?+ о(уД). (3.14)
Точка (х, у) = (п, 0) также будет неподвижной, однако она будет иметь
эллиптический тип при всех значениях ? > 0. Эти наблюдения допускают
простую интерпретацию с точки зрения теории возмущений: при малых
значениях параметра е > 0 инвариантная окружность невозмущенной задачи у
= 0 разрушается; из семейства неподвижных точек, составляющих эту
окружность, рождается пара невырожденнных неподвижных точек; координаты
этих точек аналитически зависят от е, и одна из них устойчива (в первом
приближении), а другая неустойчива; мультипликаторы неподвижных точек
можно представить в виде сходящихся рядов по степеням у/ё (ср. с п. 7 § 8
гл. IV).
275
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
Ввиду формулы (3.14) устойчивая и неустойчивая сепаратрисы Л+ и Л-
неподвижной гиперболической точки пересекаются в ней под малым (порядка
у/Ё) углом. Оказывается, они пересекаются также вблизи точки (х, у) = (п,
2v/e); для угла пересечения
В. Ф. Лазуткин [114] получил асимптотическую формулу
= ZLV*2/^ + о(е(1/8)-")]) (ЗЛ5)
где а = 1118,82770595..6 - произвольное положительное число, постоянная в
оценке 0(...) зависит от 6. Экспоненциальную малость угла <р можно
вывести из результата А. И. Нейштадта[136], полученного при весьма общих
предположениях.
Из формулы (3.15) вытекает, в частности, трансверсальность пересечения
сепаратрис А+, А и, как следствие, наличие "стохастического" слоя вблизи
A+ U А-. Б. В. Чириков [186] еще раньше установил наличие этого слоя с
помощью численных расчетов и его увеличение с возрастанием е. При
дальнейшем увеличении е этот слой сливается с другими стохастическими
слоями такого же происхождения. Однако, основной результат В. Ф.
Лазуткина заключается в получении асимптотической формулы (3.15), пока
единственной в задачах подобного рода. Она получена с помощью продолжения
отображения (3.13) в комплексную плоскость изменения переменных х, у.
Было бы полезным перенести технику В. Ф. Лазуткина на аналитические
гамильтоновы системы, у которых при нулевом значении возмущающего
параметра отсутствуют гиперболические периодические решения (системы
такого вида обсуждались в гл. IV).
9. Метод расщепления асимптотических поверхностей приме-нйм и к задаче
о плоских течениях однородной идеальной жидкости в потенциальном поле
[107]. Речь идет об уравнениях (8.7) из § 8 гл. I, имеющих гамильтонову
форму
x = H'yt у = -Н'х; Я=#о + ?#1. (3.16)
Здесь Но - функция тока стационарного течения (напомним, что она
удовлетворяет уравнению Лапласа), а Н\ имеет вид a; cos At, А = const.
Уравнения (3.16) описывают безвихревое течение в том случае, когда на
стационарное поле скоростей налагается малое синусоидальное возмущение
постоянного направления.
Пусть у функции Но имеются две гиперболические критические точки (не
обязательно различные), соединенные сепаратрисой Ао; эта кривая -
траектория однопараметрического семейства двоякоасимптотических решений
невозмущенной задачи - задается уравнениями x - xa(t - ц), у = ya(t - у),
где у - вещественный параметр. Функции ха(-), уа(-) голоморфны в
некоторой полосе
276
§ 3. Некоторые приложения
комплексной плоскости, содержащей вещественную ось.
Выяснение условий расщепления возмущенных сепаратрис Л+ и А~ при малых
значениях е ^ 0 сводится к анализу интеграла
/(X)
{Ho,Hi}(xa,ya)dt = ci(A) cos Хр + с2(А) sin Ац,
•(X)
/(X) /"(Х>
xa(t) cos Xtdt, сг = I xa(t) sin Xtdt.
•(X) J -IX)
Ясно, что ci(A) - г'сг(А) = xa(t)e~tM dt - преобразование Фурье функции
xa(t). Так как ха аналитична и экспоненциально быстро убывает с ростом
|?|, то С\ - гс2 также аналитически зависит от А (теорема Пэли - Винера).
Если 1{р) имеет простые нули, то при малых значениях е ф О
асимптотические поверхности А* трансверсально пересекаются (см. § 1). В
рассматриваемом случае среднее значение (27т/А)-пе-риодической функции /
равно нулю, поэтому у нее всегда имеются нули. Эти нули, очевидно,
простые, если cf +с\ ф 0.
Покажем, что при условии
Xa(t) ф. 0, (3.17)
сумма с( + с| для почти всех А отлична от нуля. Действительно, если с\+с\
= 0, то по теореме об обращении преобразования Фурье
xa{t) = ^ J (сДА) - ic2(\))e'Md\ = 0 .
Следовательно, с\-\- с\ф. 0. Поскольку С\ и с2 аналитичны, то с\ + + cl ф
0 почти всюду.
Итак, если невозмущенная сепаратриса Ао не лежит на прямой, то почти
любое синусоидальное возмущение приводит к хаотиза-ции течения вблизи А0.
Аналогичный результат справедлив и для прямолинейной сепаратрисы; нужно
