Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике" -> 106

Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике — Ижевск, 1995. — 432 c.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка): simmetriitopologiiirezonansa1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 172 >> Следующая

вещественными собственными значениями, а также, что точки z± соединены
двоякоасимптотическим решением t -* Zo(t), t 6 К.
Теорема 3 [28]. Пусть выполнены следующие условия:
!) ПДЯоДЯсьЯ^ЫО-О^О;
2) при малых е возмущенная система имеет двоякоасимптотическое решение
t -> ze(t), близкое к Zo(t).
264
§ 2. Теоремы о неинтегрируемости
Тогда при малых фиксированных ? / 0 в любой окрестности замыкания
траектории z?(t) возмущенные уравнения Гамильтона не имеют полного набора
независимых интегралов в инволюции.
Замечание. Условие 1) можно заменить на следующее: при некотором m ^ 2
имеет место соотношение
/<Х>
{Н0,... {Н0, Hi} .. ,}(zo(t),t)dt ф 0.
¦00 ' '
тп
Если выполнено условие 1), то асимптотические поверхности заведомо не
совпадают.
Методом нормальных форм Биркгофа в окрестности возмущенных неустойчивых
периодических решений z± + О(е) можно найти периодическую по t формальную
каноническую замену переменных z -> и, приводящую функцию Гамильтона
H(z,t,e) к функции Н±(и,е), не зависящей от t. Из-за соизмеримости
характеристических показателей это преобразование Биркгофа может
расходиться. Однако в случае одной степени свободы (п = 1) формальные
ряды замены переменных 2 -> и всегда сходятся и аналитически зависят от
параметра е (Ю. Мозер [217]).
Теорема 4. Пусть преобразование Биркгофа сходится и аналитически зависит
от е. Если выполнено условие 1) теоремы 3, то при малых ? ^ 0 уравнения
Гамильтона не имеют полного набора независимых аналитических интегралов в
инволюции.
В частности, при n = 1 достаточным условием неинтегрируемости является
условие 1) теоремы 3 (С. Л. Зиглин [62]).
Условие 1) теоремы 3 можно, конечно, заменить условием непостоянства
периодической функции 1(a), введенной в п. 4 § 1. Отметим, что в примере,
приведенном в п. 2 настоящего параграфа, 1(a) = const.
Доказательство теоремы 4. Определим на поверхности функции R± по формулам
R+(z) = ~ Г {И0' •№' я1}}(*(0.0 dt'
Jo
R~(z)= f {Ho,{Ho,Hi}](z(t),t)dt,
J - oo
где t -* z(t) - асимптотическое движение невозмущенной системы с
начальным условием ,г(0) = z.
Лемма 1. Функции R1 определяются функцией Но, семейством поверхностей А*
и симплектической структурой.
265
Глава V. Расщепление асилттотических поверхностей
Доказательство. Действительно, согласно результатам § 1, функции
/•ОО
S+(z) = -e / (Hy(z(t), t) - H\(z+,t)) dt ,
Jo
S~(z) = e j (Hi(z(t),t)~ Hy{z~,t))dt J -oo
являются производящими функциями лагранжевых поверхностей А? с точностью
до 0(е2). Но еRF = {Но, {Но, 5'±}}1 что и требовалось доказать.
Композиция преобразования Биркгофа со степенями отображения за период
позволяет продолжить функции с окрестностей критических точек и±(е) на
некоторые окрестности IV± асимптотических поверхностей Af. Так как
возможное расщепление поверхностей А+ и Л" имеет порядок ?, то при малых
е окрестности W+ и W~ пересекаются.
Лемма 2. При е ф 0 выполнено соотношение {Н+,Н~} ф 0.
Доказательство. Положим е) = Нд(и) + еН^(и) +
+ 0(е2). Так как Hg(u) = Н0(и), то {Н+, Н~} = ?{Н0, Ну - Ну } + + 0(е2).
Поскольку А^-инвариантное асимптотическое многообразие невозмущенной
гамильтоновой системы, то, по лемме 1,
{Н0,Ну}(и) = ( {Но, {Но, Hy}}(uo(t))dt = R~~{u), u G Л^.
J -ОО
Аналогично
/*О0
{H0,H+}(u)= / {H0,{H0,H+}}{uo{t))dt = R+{u), u e Л+.
Jo
Следовательно, {#+,#"} = e $(tm)Ж{Н0, {H0, Hy}}(zo{t), t) dt + 0(e2).
Согласно условию 1), при малых s ф 0 скобка Пуассона {Н+, Н~} не равна
тождественно нулю.
В новых переменных и интегралы Fy,..., Fn не зависят от t. Пусть при s ф
0 в некоторой точке множества W+ П W~ интегралы F\,...,Fn независимы.
Поскольку {H±,Fi} = 0, то вектор г>#± есть линейная комбинация векторов
vp.. Так как {F,, Fj} = 0, то, очевидно, в этой точке {Н+,Н~} = 0. Для
завершения доказательства осталось заметить, что на всюду плотном
множестве аналитическая функция {Н+, Н~\ отлична от нуля. Теорема 4
доказана.
По-видимому, стоит подчеркнуть, что доказательство теоремы 4 существенно
использовало предположение о вещественности мультипликаторов возмущенных
периодических траекторий
266
§ 3. Некоторые приложения
z± + О(е): в противном случае нормализующее преобразование Биркгофа могло
бы привести гамильтониан к комплекснозначной функции. Это предположение
заведомо выполнено, если характеристические числа линеаризованной
невозмущенной системы в окрестности точек с* вещественны и различны (см.
начало п. 3). Ясно, что при п = 1 достаточно предположения о
гиперболичности критических точек z±.
Доказательство теоремы 3 в идейном отношении сходно с доказательством
теоремы 4, однако сложнее технически из-за возможной расходимости
преобразования Биркгофа. Здесь существенно используется тот факт, что
преобразование Биркгофа сходится на асимптотических многообразиях (см. §
11 гл. II). Подробное доказательство теоремы 3 содержится в работе [28].
Там же указан ее автономный вариант. Пусть невозмущенная система с
гамильтонианом Но имеет аналитический интеграл Но, причем все
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed