Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Среди них может быть функция Hq. Ясно, что dFi - 0 при х - х±, у = у±.
Предположим, что Ац = Ац . Тогда, очевидно, А^ = Л^. Пусть х = xa(t), у =
ya(t)-двоякоасимптотическое решение невозмущенной задачи: xa(t) -> х±,
ya{t) -> у± при t -> ±00.
Для решения задачи о расщеплении возмущенных асимптотических поверхностей
Пуанкаре ввел г-периодическую функцию
/ОО
Hi(xa(t + a), ya(t + a), t) dt =
-(X)
/<Х)
H\{xa(t), ya(t), t-a)dt (1.12)
-IX)
9*
259
Глава V. Расщетыение асимптотических поверхностей
и доказал, что если Р(а) ф const, то Л+ ф h.~ при малых е ф О [146, гл.
XXI] (см. также [88]). Эту теорему Пуанкаре легко доказать методом п. 2.
Интеграл (1.12) может расходиться. Однако при Н\(х+, у+, t) = Н\{х~, у~,
t) его можно считать сходящимся, вычитая из Н\ функцию времени
H\(x±,yiz,t). Это соображение заведомо приводит к цели в гомоклинном
случае, когда х+ - х~, У+ = У~ •
Чтобы избежать вопросов, связанных со сходимостью, продифференцируем
функцию Р по а:
dP f00
/(а) = - = J {H0,Hi}(xa(t + a),ya(t + a),t)dt.
d . .
Здесь мы воспользовались очевидным тождеством -f{t + a) - d
= -fit + а). Таким образом, условие Пуанкаре приводится к ви-dt
ду 1(a) ф. 0. Эта форма записи условия расщепления асимптотических
поверхностей, по-видимому, впервые появилась в работе
В. К. Мельникова [127].
При п > 1 естественно ввести интегралы вдоль асимптотических траекторий
/ОО
{Fi,Hi}(xa(t), ya(t), t)dt. (1-13)
-(X)
Поскольку dFi = 0 при х = у = у?, то подынтегральная функция
экспоненциально быстро стремится к нулю при t -> ±оо; в частности,
интегралы (1.13) заведомо сходятся.
Достаточное условие трансверсального пересечения возмущенных
асимптотических поверхностей найдено С. В. Болотиным [28]:
Г = 0, det || Jy|| ф 0; 1 ^ i,j ^ п,
/(X)
{F;,{F.,,#i}}(xa(t), ya(t), t)dt .
-(Х>
Формулы, удобные для решения задачи о расщеплении асимптотических
поверхностей гиперболических периодических решений в автономном случае,
указаны в работах [86, 88].
§ 2. Теоремы о неинтегрируемости
1. Пусть М3 - трехмерное аналитическое многообразие и v -
аналитическое векторное поле на М, не имеющее положений равновесия.
Примером может служить гамильтонова система с двумя степенями свободы,
ограниченная на регулярную трехмерную поверхность интеграла энергии.
260
§ 2. Теоремы о неинтегрируемости
Предположим, что имеются две гиперболические траектории 7i и 72 (не
исключается случай, когда 71 и 72 совпадают). Через Л/ (Л2 ) обозначим
устойчивую (неустойчивую) асимптотическую поверхность траектории 71 (72)-
Напомним, что эти поверхности регулярны и аналитичны. Однако они могут
быть вложены в М довольно сложным образом.
Теорема 1. Предположим, что А ( и Л2 пересекаются и не совпадают (как
множества точек в М). Тогда система
х = v(x), х ? М , (2-1)
не допускает непостоянных интегралов, аналитических на М, а любое
аналитическое поле симметрий и системы (2.1) имеет вид и = Ат, А = const.
Доказательство. Поскольку и пересекаются, то система (2.1) имеет такую
двоякоасимптотическую траекторию 7a(t), что 7a(t) -* 71 при t -> +00 и
7a(t) -> 72 при t -> -00. Следовательно, в сколь угодно малой окрестности
замкнутой траектории 7i (72) имеются точки пересечения Л+ и .
Пусть 7Г - двумерная регулярная поверхность в М, трансверсально
пересекающая 7i по точке xi. Тогда в окрестности xi возникает отображение
Пуанкаре длг -> я, порождаемое фазовым потоком системы (2.1). Секущую
поверхность тг можно выбрать так, чтобы ЛJ пересекала 7Г по отрезку А
регулярной кривой, причем пересечение А П
ПЛ^ не пусто (рис. 17). Рассмотрим Рис. 17
образы отрезка А при итерациях
отображения Пуанкаре: дп(А) (п = 1,2,...). При п -> оо отрезки дп(А)
будут растягиваться вдоль "сепаратрисы" Aj" П я, неограниченно к ней
приближаясь. Этот результат вытекает, например, из теоремы Гробмана -
Хартмана, согласно которой в малой окрестности точки xi отображение д
топологически сопряжено линейному гиперболическому повороту. В качестве
следствия получаем, что объединение
05"( А) (2.2)
71=1
будет ключевым множеством для класса функций, аналитических на
поверхности 7г.
261
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
Предположим, что система (2.1) допускает аналитический интеграл F. Пусть
/ - ограничение функции F на ж. Ввиду регулярности 7г, функция /
аналитична на 7г. Хорошо известно, что функция F постоянна на траекториях
71 и 72, а также на асимптотических поверхностях А^ и Л2, следовательно,
постоянна на множестве (2.2). Поскольку это множество ключевое, то / =
const на поверхности ж. Варьируя поверхность 7Г, получим, что F = const
на всем многообразии М.
Предположим теперь, что имеется аналитическое поле симметрий и. Пусть ди
- фазовый поток системы дифференциальных уравнений, порождаемой полем и.
Преобразования из группы ди переводят периодические траектории 71 и 72 в
себя, поскольку эти траектории невырождены. Следовательно, преобразования
из ди переводят двоякоасимптотические траектории в двоякоасимптотические
