Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
a) U(x) = V cosax - Fx; б) U(x) = И(а2а;2 - sin2 ах).
Рис. 12
5.2. Найти частоту малых колебаний системы, изображенной на рис. 11.
Система вращается в поле тяжести вокруг вертикальной оси с угловой
скоростью Q.
24
Задачи
[5.3
5.3. Частица массы то, несущая заряд q, может двигаться в поле тяжести по
вертикальной окружности радиуса R. В нижней части окружности закреплен
заряд q. Найти положение равновесия и частоту малых колебаний частицы
(рис. 12).
5.4. Найти закон движения частицы в центральном поле U(г) = = -а/гп (0 <
п < 2) по траектории, близкой к окружности.
5.5. Найти частоту малых колебаний сферического маятника (частица массы
то подвешена на нити длины Г), при которых угол отклонения нити от
вертикали в осциллирует вблизи значения 6q.
5.6. Найти поправку к частоте малых колебаний двухатомной молекулы,
вызванную наличием у нее момента импульса М.
U{t) = Uosimot (рис. 16).
5.11. Найти закон движения осциллятора с трением, первоначально
покоившегося, под действием силы F(t) = F cos ^t.
Рис. 13
5.7. Найти свободные колебания системы (рис. 13), если частица может
двигаться:
а) вдоль прямой АВ;
б) перпендикулярно АВ.
Как зависит частота от натяжения пружинок в положении равновесия?
Рис. 14
Рис. 15
т
5.8. Найти свободные колебания системы (рис. 14), если она находится в
однородном поле тяжести и частица может двигаться только вертикально.
R
5.9. Найти установившиеся малые колебания плоского маятника, точка
подвеса которого равномерно движется по окружности радиуса а с частотой Q
(рис. 15). Длина маятни-
5.10. Найти установившиеся колебания напряжения Рис. 16 на конденсаторе и
ток в контуре с источником напряжения
5.17]
§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы
25
5.12. Определить энергию Е, приобретенную осцилля тором под действием
силы F(t) = .Fe-**/7") за все время ее действия, если при t = - оо:
а) осциллятор покоился;
б) амплитуда колебаний была равна а.
5.13. Найти движение под действием силы F(t):
а) неустойчивой системы, описываемой уравнением
х-/л2х = щF(t);
б) осциллятора с трением
х + 2Хх + lUqX = щF(t).
5.14. Найти дифференциальное эффективное сечение возбуждения изотропного
осциллятора до энергии ? быстрой частицей (Е V), взаимодействующей с ним
по закону
U (г) = Ие-"2г2.
Начальная энергия осциллятора равна нулю.
5.15. Осциллятор может колебаться только вдоль оси z. Найти
дифференциальное эффективное сечение возбуждения осциллятора до энергии е
быстрой частицей, взаимодействующей с ним по закону U{r) = Ve~H r .
Скорость частицы Voo параллельна оси z, ее энергия Е И. Начальная энергия
осциллятора ?о-
5.16. На гармонический осциллятор действует сила F(t), причем F(-оо) = 0,
F(+oo) = F0. Найти энергию Е{+оо), приобретенную осциллятором за все
время действия силы, и амплитуду колебаний его при t -> +оо, если при t ^
-оо осциллятор покоился.
5.17. Найти энергию, приобретенную осциллятором под действием силы
у ext при t < О,
т--
Энергия осциллятора при t ->¦ - оо равна ?о-
26
Задачи
[5.18
5.18. Оценить изменение амплитуды колебаний осциллятора, если сила F(t)
включается медленно и плавно за большой промежуток времени т, такой что
lot А> 1. При t < 0 сила F(t) = 0, при t > т сила F{t) = F0, при 0 < t <
т справедлива оценка F^F ~ Fo/rk (к = 0, 1, ..., п + 1); причем F^i0) =
F(s\t) = 0 (s = 1, 2, ..., п - 1), а п-я производная силы при t = 0 и t =
т испытывает скачок.
Рис. 17
Рис. 18
5.19. Найти установившиеся колебания осциллятора под действием
периодической силы F(7):
а) F{t) = F ¦ {t/т - п) при пт ^7 < (гг + 1)т (рис. 17);
б) F(t) = F • (1 - e~xt'), t' = 7 - пт при пт ф 7 < (гг + 1)т (рис. 18).
Оценить время установления колебаний, если декремент затухания равен 5.
в) Найти установившийся ток в контуре (см. рис. 16) с источником
пилообразного напряжения U{t) = (t/т - n)V при пт ^ 7 < {п + 1 )т.
5.20. На осциллятор с трением (собственная частота loq, сила трения /хр =
-2Хгпх) действует вынуждающая сила F(t).
а) Найти среднюю работу А этой силы при установившихся колебаниях, если
F(t) = fi cos Lot + /2 cos 2w7.
CO
б) To же для F{t) = ^ anem0Jt, a_" = a*.
n=- 00
в) Найти среднюю за большой промежуток времени работу силы F(t) = /1
coscjjT + /2 coscJ2^ при установившихся колебаниях.
СО
г) Найти полную работу силы F(t) = / ф{ш)ешг dto, ф{-
ш)=ф*{ш),
если осциллятор при 7 -> -оо покоился. ^
5.21. Гармонический осциллятор находится в поле бегущей волны, которая
действует на него с силой F(x, 7) = f(t - x/V), где х - отклонение
6.2]
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
27
осциллятора от положения равновесия, V - скорость волны. Предполагая х
достаточно малым, найти связь между переданными осциллятору энергией АЕ и
импульсом
СО
Ар = j F(x(t),t)dt,
- СО
ограничившись приближением, квадратичным по F, и считая /(±оо)=0.
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
В задачах 6.1 -6.21 с помощью общих методов рассматриваются свободные и
