Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
приводят к правильным "уравнениям движения" для q\ и q2 и правильным
значениям энергии. Здесь q\ = I - ток, идущий по индуктивности '? в
направлении от А к В (рис. 6, a), q2 - заряд на верхней пластине
конденсатора (рис. 6, б), a U - напряжение между точками А и В (U = <рв -
<Ра)-
20
Задачи
[4.22
Рис. 7
I
t/
4 q,
f Y
б)
4.22. Используя аддитивность функции Лагранжа и результат предыдущей
задачи, составить функции Лагранжа и уравнения Лагранжа для цепей,
изображенных на рис. 7 (а, б ив).
Рис. 6
4.23. Найти функции Лагранжа следующих систем:
а) цепь с переменным конденсатором, подвижные пластины которого соединены
с маятником то (рис. 8, а). Зависимость емкости от угла поворота С((f)
известна, массой пластин конденсатора пренебречь;
б) сердечник на пружинке жесткости к, втягиваемый внутрь соленоида,
индуктивность которого есть заданная функция смещения сердечника !? (х)
(рис. 8,6).
В
П
УЛх)
D
Рис. 9
4.24. Квадратная идеально проводящая рамка может вращаться вокруг
закрепленной стороны АВ = а (рис. 9). Рамка находится в постоянном
однородном магнитном поле Ж, перпендикулярном к оси АВ. Индукгив-
4.28] §4. Уравнения движения. Законы сохранения 21
ность рамки !?, масса стороны CD равна то, массами других сторон можно
пренебречь.
Описать качественно характер движения рамки.
4.25. Пользуясь методом неопределенных множителей Лагранжа, получить
уравнения движения частицы в поле тяжести, если она может двигаться по
заданной кривой:
а) параболе, лежащей в вертикальной плоскости;
б) окружности радиуса г = I, расположенной в вертикальной плоскости.
Выразить силы реакции связи.
4.26. Частица движется в поле тяжести вдоль прямой, равномерно
вращающейся в вертикальной плоскости. Составить уравнения движения
частицы и найти момент силы реакции.
4.27. Влияние связей и трения на движение системы можно описать, вводя в
уравнения движения обобщенные силы реакции связей и трения:
d dL _ &L _ о
dtdqt dqt~ *' [)
а) Как изменяется со временем энергия системы?
б) Как должны преобразовываться силы Г{, при переходе к новым обобщенным
координатам
Qi Qi(Q 1? • • • ? Qs>
чтобы уравнения движения сохраняли вид (1)?
4.28. Пусть уравнения связей имеют вид
S
Чр = ^ ' bpnqn, /3 1, ..., г,
п=г+1
причем функция Лагранжа L(qr+i, ..., qa, qi, ..., qs, t) и коэффициенты
Ърп не зависят от координат qp.
Показать, что уравнения движения могут быть представлены в виде
d dL dL \ ' dL \ ' f (r)bpm дЪрп \ ^
dt dqn dqn dqp ^ V dqn dqm) m
0=1 H m=r-\-1
где L(qr+i, ..., qa, qr+i, ..., qs, t) - функция, получаемая исключением
скоростей qi, ..., qr из L с помощью уравнений связей.
22
Задачи
[4.29
4.29. Струну можно представить как предельный случай системы N частиц
(рис. 10), соединенных упругой нитью, при N -> оо, а -> 0, Na = const.
Функция Лагранжа дискретной системы имеет вид
N+1
ЦЯ1, 42, ¦ ¦ ¦, 4N, 4i, 42, ¦¦¦, 4n, t) = ^ Ln(qn, qn - qn_1: qn, t),
71 = 1
где qn - отклонение n-й частицы от положения равновесия.
а) Получить уравнение движения непрерывной системы как предельный случай
уравнений Лагранжа дискретной системы.
б) Получить выражение энергии непрерывной системы как предел выражения
энергии дискретной системы.
УКАЗАНИЕ. Ввести координату точки струны х9 а также величины, получаемые
при предельном переходе а ^ 0, п - х/а ^ оо:
, ^ г ил dq ,. qn(t) - qn-i(t)
q{x,t)=hmqn(t), -^ = lim -------------------,
со I ^4 ^4 Л _ i-" Ln(qn, qn - qn-i, q_n, t)
\X' q' &Г dt' J ~ " '
4.30. Заряженная частица движется в потенциальном поле U( г) ив
постоянном магнитном поле Ж, причем U(r) и Ж (г) являются однородными
функциями координат степени кип соответственно, т. е. U(сиг) = = akU(r),
Ж(сиг) = апЖ(г). Вывести для данной системы принцип подобия, уточнив, при
каком значении п он имеет место.
4.31. Обобщить теорему вириала для системы заряженных частиц в однородном
магнитном поле Ж. Потенциальная энергия системы U является однородной
функцией координат U(ax\, ..., ars) = ctkU (г i, ..., rs), а движение
системы происходит в ограниченной области пространства и с ограниченными
скоростями.
4.32. Три одинаковых частицы движутся по одной прямой и попарно
взаимодействуют друг с другом по закону Uik = U(xi- Хк), где Xi - коор-
Рис. 10
5.2]
§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы
23
дината /-и частицы. Проверить, что кроме очевидных интегралов движения
Р = т(х 1 + х2 + хз),
Е = ^(^1 + 2-2 + 2-з) + + U23 + U31
существует дополнительный интеграл движения [28]
А = тхгх-зх3 - xiU23 - x2U3i - x3U2i в случае, если функция U(х) имеет
вид:
a) U(x) = 4, б) U(x) - р2"2
х sh ах
4.33. Рассмотреть столкновение трех частиц, описанных в предыдущей
задаче. Пусть xi > х2 > хз и при t -> - 00 расстояния между частицами
бесконечно велики, а их скорости Vi = Xi (t = -00) таковы, что
v3 > v2 > vi. Найти v[ = ±i (t = +00).
§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы
5.1. Найти частоту ш малых колебаний частицы в поле U(х):
