Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
равновесия. Начальные скорости равны нулю.
6.20. Найти нормальные колебания системы трех частиц, которые могут
двигаться по кольцу (рис. 28).
6.21. Найти нормальные координаты системы четырех частиц на кольце (рис.
29).
6.22. Пусть нормальные колебания системы, описываемой функцией Лагранжа
Доказать, что амплитуды, соответствующие колебаниям с различными
частотами loi и los, удовлетворяют соотношениям
имеют вид
xf^t) = А{р cos (wit + ipi).
6.23. На систему, описываемую функцией Лагранжа
32
Задачи
[6.24
наложена линейная связь
CliXi =0, Cli = const.
i
Пусть все собственные частоты системы без связи различны Hi < П2 < < ...
< On- Доказать, что все собственные частоты системы со связью х/ лежат в
промежутках между П;:
Ql UJ\ 0,2 ^ Х>2 ^ ^ L^N- 1 ^ Opf.
6.24. Установившиеся колебания системы, описываемой функцией Лагранжа
L = niijXiXj - kijXiXj) + ^2 Xifi cos jt,
hj i
можно представить в виде Xi(t) = А(r)А(r) cos 71. (Почему?) (Обозначения
задачи 6.22.) 1
Выразить коэффициенты А(r) через /* и Л(r).
Исследовать зависимость от 7.
Показать, что если для s-ro нормального колебания )0/, A;'sl = 0, то
А^) = 0. i
6.25. Система частиц, связанных пружинками, может совершать малые
колебания. Пусть к одной из них - частице А - вдоль направления х
приложена сила F = Fq cos 71, а другая - частица В - при этом совершает
установившиеся колебания, при которых проекция ее отклонения на
направление х' имеет вид х'в = С cos 71.
Показать, что при действии силы F на частицу В вдоль оси х' возникают
такие колебания частицы А, что ха = С cos у / (теорема взаимности).
6.26. Найти нормальные колебания системы частиц, которые могут двигаться
по кольцу (рис. 30).
6.27. Найти нормальные колебания системы четырех частиц на кольце (рис.
31).
6.28. а) Найти нормальные колебания системы, изображенной на рис. 32. Все
частицы и пружинки одинаковы. Натяжение пружинок в положении равновесия /
= kl, где I - равновесное расстояние между частицами.
6.30]
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
33
т
Рис. 30
2т
т
Рис. 31
С
D
Рис. 32
й,
Рис. 33
УКАЗАНИЕ. Некоторые из нормальных колебаний очевидны. Определение
остальных можно упростить, используя соотношения задачи 6.22.
б) Найти нормальные колебания системы четырех одинаковых частиц,
изображенных на рис. 32 (пятая частица отсутствует, а пружинки в этом
месте соединены). Коэффициенты жесткости и натяжения всех пружинок
одинаковы.
6.29. Три частицы, имеющие различные массы то, (г = 1, 2, 3), могут
двигаться по кольцу (рис. 33). При каких значениях коэффициентов
жесткости пружинок hi в данной системе наступит вырождение частот?
6.30. Какие из нормальных колебаний системы рис. 27 мало изменяются при
малом изменении системы, состоящем в следующем:
а) жесткость пружины 1-2 изменена на малую величину 5к;
б) к частице 3 добавлен малый перегрузок 5т;
в) к частице 1 добавлен перегрузок 5т\, а к частице 2 - 5то2?
34
Задачи
[6.31
6.31. Для случаев а) и б) предыдущей задачи описать свободные колебания,
если в начальный момент частицы 1 и 3 смещены навстречу друг другу на
одинаковые расстояния. Начальные скорости частиц равны нулю.
6.32. Система рис. 29 имеет вырожденные частоты, поэтому ее нормальные
колебания не определены однозначно. Даже малое изменение масс частиц или
жесткостей пружинок может привести к снятию вырождения.
Найти нормальные колебания системы рис. 29, близкие к нормальным
колебаниям системы, которая получится, если:
а) к первой и второй частицам добавить одинаковые перегрузки;
б) изменить одинаково жесткость пружинок 1-2 и 3-4;
в) добавить перегрузок к первой частице.
6.33. Частицы 1 и 3 системы, описанной в задаче 6.32 б, в начальный
момент отклонены от положения равновесия на одинаковое расстояние
навстречу друг другу; начальные скорости всех частиц равны нулю. Описать
свободные колебания системы.
6.34. Определить, насколько изменяются собственные частоты системы,
описываемой функцией Лагранжа
Все собственные частоты исходной системы невырождены.
6.35. Найти изменение собственных частот системы рис. 31, если к первой
частице добавлен малый перегрузок 5т, так что е = 5т/т <С 1.
6.36. Определить свободные колебания анизотропного заряженного
осциллятора с потенциальной энергией
в однородном магнитном поле Ж, параллельном оси z. Рассмотреть, в
частности, подробнее предельные случаи:
а) \шж\ < 1^1 - а>2|,
при небольшом ее изменении:
6.39] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями
свободы
35
б) \uiye\ wi,2,
в) LOl = U)2 > I (здесь = еЖ/тс).
6.37. Определить свободные колебания анизотропного гармонического
осциллятора с потенциальной энергией
H(r) = f(^2 + cp2V + cP3V)
в слабом магнитном поле Ж = (Жх, 0, ^г), рассматривая влияние магнитного
поля как малое возмущение.
6.38. Математический маятник является частью электрической цепи (рис.
34). Перпендикулярно к плоскости рисунка приложено постоянное однородное
магнитное поле Ж. Найти нормальные колебания системы.
