Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
/rcoscn2 / г sin и> \ 2
{-XT1) + (-s ) =!•
2.20 6. Частица скользит по поверхности гладкого параболоида вращения,
ось которого направлена вертикально вверх: 2 = (х2 + у2)/{21). Найти
угловую скорость прецессии орбиты. Наибольшее и наименьшее расстояния
частицы от оси z равны а и Ь, причем n <t' l.
2.21. Исследовать движение системы Земля-Луна в поле Солнца. Учесть, что
масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а расстояние от Земли до Луны а =
380 тысяч км много меньше среднего расстояния до Солнца R = 150 миллионов
км.
а) Принимая для простоты, что плоскость орбиты Луны совпадает с
плоскостью орбиты Земли, показать, что потенциальная энергия системы
Земля-Луна в поле Солнца, усредненная за месяц, имеет вид
где R - расстояние от Солнца до центра масс системы Земля-Луна.
Определить происходящее из-за этого смещение перигелия за сто лет.
10 Задачи [2.22
б) Плоскость орбиты Луны составляет с плоскостью орбиты Земли угол в =
5°. Определить связанную с этим среднюю скорость прецессии плоскости
орбиты Луны.
2.22. Определить угловую скорость прецессии орбиты в поле U(г) = = -у +
SU(r), если эксцентриситет орбиты е <§; 1, полагая
SU(r) = 6U(a) + (г - a)5U'{a) + ^(r - a)25U" (а),
где а = Гшах ^ Гтш - средний радиус орбиты.
2.23. Определить угловую скорость прецессии орбиты частицы в поле U(r) =
- у + 5U (г) (5U (г) - малая добавка) с точностью до второго порядка
включительно по SU(r).
2.24. Найти уравнение траектории частицы, движущейся в поле
U(г) = - j: + Цг, рассматривая Цт как малую добавку к кулоновскому
г г
полю.
2.25. Показать, что задача о движении двух заряженных частиц в однородном
электрическом поле S сводится к задачам о движении центра масс и о
движении частицы в заданном поле.
2.26. При каком условии разделяются задачи о движении центра масс и об
относительном движении для двух заряженных частиц в однородном магнитном
поле?
Векторный потенциал магнитного поля удобно выбрать в виде
А = | Жу .
2.27. Выразить кинетическую энергию, импульс и момент импульса системы N
частиц через координаты Якоби:
ТОЦЧ + ... + mnrn .
€n= mi + ... + mn ~Г"+1 (n = l1...,N-l)1
_ m1r1 + ... + mNrN N nil + ¦ ¦ ¦ + niN
2.35]
§ 2. Движение частиц в полях
11
2.28. На первоначально покоившуюся частицу налетает частица такой же
массы то, имевшая на бесконечности скорость v и взаимодействующая с
первой по закону U (г) = а/гп. Удар центральный. Найти точку остановки
налетевшей частицы.
2.29. Доказать, что для заряженной частицы в однородном магнитном поле Ж
интегралом движения является ~ШЖ + ^-[гЖ]2, где М = m[rv],
2.30. Найти траекторию и закон движения заряженной частицы в магнитном
поле Ж = дг/г3 (поле магнитного монополя).
Подобный вид имеет магнитное поле тонкого длинного соленоида вне его в
точках, удаленных от его торца на расстояние, большое по сравнению с
диаметром соленоида, но малое по сравнению с его длиной.
2.31. Описать качественно характер движения и вид траектории заряженной
частицы в поле магнитного диполя т, движущейся в плоскости,
перпендикулярной к вектору т. Векторный потенциал магнитного диполя А =
[mr]/r3.
2.32. а) Описать качественно движение заряженной частицы в поле
U = ^тоЛг2, где г - расстояние от оси z (поле равномерно заряженного
цилиндра), при наличии однородного магнитного поля Ж, параллельного оси
z.
б) Найти закон движения и траекторию заряженной частицы, движущейся в
поле U = а/г2 в плоскости, перпендикулярной постоянному однородному
магнитному полю Ж.
2.33. Заряженная частица движется в кулоновском поле U(г) = -а/г в
плоскости, перпендикулярной к однородному магнитному полю Ж. Описать
траекторию частицы. Исследовать случай, когда Ж мало, и случай, когда
поле U (г) является малым возмущением.
2.34. Найти законы движения двух одинаковых заряженных частиц в
однородном магнитном поле Ж в случае, когда траектории их лежат в одной
плоскости, перпендикулярной к Ж, а энергию их взаимодействия U(г) = е2/г
можно считать малой поправкой.
2.35. Показать, что в поле U(r) = у Fr сохраняется величина F[vM] - +
i[Fr]2. Истолковать этот интеграл движения при очень
малых F.
12
Задачи
[2.36
2.36. Исследовать влияние малой добавки SU(г) = -Fr к кулонов-скому полю
на финитное движение частицы.
а) Найти среднюю (за период) скорость изменения момента импульса.
б) Определить зависимость от времени момента импульса, размеров и
ориентации орбиты, если сила F лежит в плоскости орбиты.
в) Тот же вопрос при произвольной ориентации силы.
УКАЗАНИЕ. Составить и решить усредненные по периоду уравнения движения
для векторов М = m[rv] иА = [vM] - ^г-.
2.37. Найти систематическое изменение траектории финитного движения
заряженной частицы в поле U{r) = -а/г под влиянием слабых постоянных
однородных электрического и магнитного полей 8 и Ж.
а) Ограничиться случаем, когда магнитное поле перпендикулярно плоскости
орбиты, а электрическое поле лежит в ней.
б) Рассмотреть общий случай.
2.38 а. Найти систематическое изменение эллиптической орбиты частицы в
