Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
вынужденные колебания относительно несложных систем (с двумя-тремя
степенями свободы). В задачах 6.18-6.21 приведены системы с вырожденными
собственными частотами.
Для исследования более сложных систем полезно использовать
ортогональность собственных колебаний и свойства симметрии системы.
Соответствующие теоремы приведены в задачах 6.22 и 6.39, а иллюстрации их
применения, например, в задачах 6.26-6.33 и 6.40-6.45, 6.47, а также в
задачах о колебаниях молекул 6.46, 6.48-6.52.
Влияние малого изменения системы на ее движение можно исследовать с
помощью метода последовательных приближений - теории возмущений. Общей
форме теории возмущений в задачах о малых колебаниях посвящена задача
6.34, конкретным примерам - задачи 6.35, 6.37, 6.41, 6.42, 6.50 6.
Полезно отметить, что подобным же образом строится теория возмущений в
квантовой механике.
В задачах 6.36-6.38 изучаются колебания систем, в которых действуют
"гироскопические" силы (см. также задачи 9.24-9.27).
6.1. Найти свободные колебания системы, изображенной на рис. 19, при
которых частицы движутся вертикально. Найти нормальные координаты и
выразить через них функцию Лагранжа.
6.2. Найти установившиеся колебания системы, описанной в предыдущей
задаче, если точка подвеса движется в вертикальном направлении по закону
a(t), где
а) a(t) = acos'yt,
б) a(t) = а^|г - nj при пт < (п + 1)т.
6.3 а. Найти свободные малые колебания плоского двойного маятника (рис.
20 а).
28
Задачи
[6.4
t-лг-*
т
Рис. 19
Рис. 20 а
Рис. 20 б
6.3 б. Найти нормальные колебания для двойного маятника (рис. 206), у
которого угол между плоскостями колебаний верхней частицы с массой 3то и
нижней частицы с массой то равен 60°. Длина каждого стержня равна I, их
массами пренебречь.
6.4. Найти свободные колебания системы, функция Лагранжа которой
Как выглядит траектория точки с декартовыми координатами (х, у) ?
6.5. Найти нормальные колебания системы, функция Лагранжа которой:
6.6. Найти нормальные колебания в системах связанных контуров:
а) рис. 21, а; б) рис. 21,6.
6.7. Найти нормальные колебания системы частиц, соединенных пружинками
(рис. 22). Частицы могут двигаться только вдоль прямой АВ. Найти
свободные колебания системы.
6.8. Найти свободные колебания системы (рис. 23), если в начальный
момент:
а) одна из частиц имеет скорость v, скорость другой и отклонения обеих
частиц от положения равновесия равны нулю;
L =
X2 + у2 cojx2 + ш2у2
2
2
6.14]
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
29
а)
б)
Рис. 21
/1|МЛАЛ^/Л*?А/Л|в
k т k, т k
Рис. 22
Рис. 23
б) одна из частиц отклонена от положения равновесия на расстояние а,
отклонение другой и скорости обеих равны нулю.
Частицы могут двигаться только вдоль прямой АВ.
6.9. Определить поток энергии от одной частицы к другой, используя
условия предыдущей задачи.
6.10. Найти свободные колебания системы (см. рис. 23), если на каждую из
частиц действует сила трения, пропорциональная ее скорости.
6.11. Найти свободные малые колебания двойного маятника (рис. 24), если в
начальный момент верхний маятник вертикален, нижний отклонен на угол (3 "
1, а скорости их равны нулю. Массы маятников М и то, причем М то.
6.12. Найти установившиеся колебания системы (см. рис. 23), если точка А,
в которой закреплен левый конец пружины, движется по закону acosjt в
направлении прямой АВ.
6.13. Найти установившиеся колебания системы двух частиц на кольце1 (рис.
25, а), если точка А движется по кольцу по закону acos'yt. Исследовать
зависимость амплитуд колебаний от частоты вынуждающей силы.
6.14. Три частицы, каждая массы то, связанные пружинками, могут двигаться
по кольцу (рис. 25, б). Найти установившиеся колебания системы, если
точка А движется по кольцу по закону a cos 7t.
1В этой и подобных задачах кольцо предполагается гладким и неподвижным.
30
Задачи
[6.15
А
А
Л
т'
а)
б)
Рис. 24
Рис. 25
6.15. Найти установившиеся колебания системы, изображенной на рис. 23,
если точка А движется по закону a cos 71. На частицы действует сила
трения, пропорциональная скорости.
6.16. Найти движение системы рис. 22, если в начальный момент частицы
покоились в положениях равновесия, а точка А движется по закону acosjt.
Массы частиц равны (mi = m2 = m).
6.17. Найти установившиеся колебания частицы (рис. 26) под действием
однородного переменного поля U(г) = -F(i)r, где вектор F(i) лежит в
плоскости рисунка, в случаях:
а) F(i) = Fo cos 71,
б) F(t) вращается с частотой 7, оставаясь постоянным по величине.
6.18. Найти нормальные колебания трех одинаковых частиц, связанных
одинаковыми пружинками и могущих двигаться по кольцу (рис. 27).
С
т
А
D
k
Рис. 26
Рис. 27
6.23]
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
31
т
т
2k
2т
Рис. 28
Рис. 29
Определить нормальные координаты, приводящие функцию Лагранжа к
диагональному виду.
6.19. Найти свободные колебания системы, рассмотренной в предыдущей
задаче, если в начальный момент одна из частиц отклонена из положения
