Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
з
4- /2 coso^t с учетом ангармонической поправки SU(x) = т(*х .
ж(?, t) = limxn(t)
Xn(t) Xn-l(t') a
a) SU(x) = 6) 5U(x)
max3
3
8.8] § 8. Нелинейные колебания 43
8.5. Маятник представляет собой грузик массы т, подвешенный на пружинке
жесткости к. Длина ненапряженной пружинки Iq. Найти ангармонические
поправки к колебаниям маятника.
Воспользоваться декартовыми координатами отклонения грузика от положения
равновесия.
8.6. Найти амплитуду установившихся колебаний ангармонического
осциллятора
х + 2\х + lo^x + [Зх3 = / cos uit
а) в области резонанса \се - wo| (До;
б) в области резонанса на утроенной частоте вынуждающей силы
|3cj - OJQ | OJq.
8.7. а) Определить амплитуду и фазу установившегося колебания осциллятора
при параметрическом резонансе:
х + 2Хх + Wq(1 + hcos2ut)x + (Зх3 = О (h <С 1, \to - cj0| < u)q, (Зх2
<€cOq).
6) Определить амплитуду третьей гармоники установившегося колебания.
г 2г 3т 4т
Рис. 53
8.8. Определить колебание осциллятора
х + ^о(1 + hcos2ut)x = 0 (h <Cl, \to - cjo| "С ^о)
а) в области неустойчивости относительно параметрического резонанса;
б) вблизи области неустойчивости.
44 Задачи [8.9
8.9. Частота гармонического осциллятора сo(t) меняется по закону,
изображенному на рис. 53. Найти области неустойчивости относительно
параметрического резонанса.
8.10. Определить, как изменяются со временем амплитуды слабо связанных
осцилляторов, функция Лагранжа которых
L = тр(ж2 + у2 - со2х2 - 4со2у2 + 2 ах2у).
8.11. Найти частоту малых свободных колебаний маятника, точка подвеса
которого совершает вертикальные колебания с большой частотой 7 (7 > \[Ф)•
8.12. Определить эффективную потенциальную энергию:
а) частицы массы ш, находящейся в поле
и{г) = ---------------------------- ------------------г (г" а);
г - acoscjr г + acoswi|
б) осциллятора, находящегося в поле
т-r/ \ о arcoscot U (г) = 2а --------.
8.13. Определить движение быстрой частицы, влетающей в поле U = = А{х2 -
у2) sin kz под малым углом к оси z (к2Е А).
8.14. Определить скорость смещения центра орбиты заряженной частицы в
слабо неоднородном магнитном поле Жх = Жу = 0, Жх = Ж(х), причем
^ _ Ж'{х)^ ^ ^ ^ _ mvc
Ж(х) ' еЖ(х)7
где г - радиус орбиты.
8.15. Задача представляет собой механическую модель фазовых переходов
второго рода.
Железный шарик массы ш может колебаться вдоль оси у на пружинке,
потенциальная энергия которой имеет вид U{y) = -Су2+Ву4.1 С помощью
'Такова, например, потенциальная энергия системы, изображенной на рис.
13, если шарик может двигаться лишь в направлении оси у, перпендикулярной
к линии АВ, и длина нерастянутой пружинки 1о больше I. В этом случае при
\у\ <С I имеем
С = k(l0-l)/l, B = kl0/4l3.
9.2] § 9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета 45
электромагнита возбуждают колебания шарика по закону уо cos yt, причем 7
много больше частоты его собственных колебаний1.
Найти частоту малых собственных колебаний шарика в зависимости от
параметра Т = у\.
§ 9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета
9.1. В вершинах квадрата со стороной 2а расположены массы ш и М (рис.
54, я). Найти компоненты тензора инерции относительно:
а) осей х, у, г;
б) осей х', у', совпадающих с диагоналями квадрата, и z.
Рис. 54
9.2. Найти главные оси инерции и главные моменты инерции следующих
систем:
а) массы ш и М расположены в вершинах прямоугольника со сторонами 2а и 2Ъ
(рис. 54, б).
б) массы ш и 2ш расположены в вершинах прямоугольного треугольника с
катетами 2а и 4а (рис. 54, в).
'При действии высокочастотной силы f(t) = - (уоу2 /m) cos yt в пределе 7
-> оо ам-плитуда вынужденных колебаний стремится к уо, поправки к
амплитуде и высшие гармоники имеют малость ~ 7-2-
46
Задачи
[9.3
9.3. Выразить момент инерции /п относительно оси, параллельной
единичному вектору п и проходящей через центр инерции тела, через
компоненты тензора инерции.
ч / 9.4. Найти главные моменты инерции шара
радиуса R, имеющего внутри полость в форме шара
Рис. 55 радиуса г (рис. 55).
9.5. Выразить компоненты тензора квадрупольного момента масс
(р - плотность) через компоненты тензора инерции
9.6. Найти частоту малых колебаний однородного полушара, находящегося на
гладкой горизонтальной поверхности в поле тяжести.
9.7. На покоившуюся гантельку, состоящую из пары касающихся одинаковых
шариков, налетает третий такой же. Скорость его V перпендикулярна линии
центров гантельки и направлена к центру одного из ее шариков. Найти
скорость шарика и гантельки после столкновения. Удар упругий.
9.8. Какова станет продолжительность суток, когда они сравняются (за счет
действия приливных сил) с месяцем (т. е. период обращения Земли вокруг
оси станет равным периоду обращения Луны вокруг Земли). Принять для
простоты, что ось вращения Земли перпендикулярна плоскости орбит Земли и
Луны. Для численных оценок считать Землю однородным шаром радиусом а =
6,4 тыс. км и массой М, в 81 раз большей массы Луны т; расстояние от
Земли до Луны R = 380 тыс. км.
