Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
столкновении двух пучков частиц со скоростями vi, V2 и плотностями rii,
П2. Сечение реакции равно а.
16
Задачи
[3.22
3.22. Частица массы М движется в области, заполненной частицами,
первоначально неподвижными, массы которых равны то <С М. Сечение
рассеяния частиц то на частице М есть da = f(6) do. Столкновения упругие.
Найти:
а) "силу трения", действующую на частицу М\
б) средний квадрат угла отклонения 0 частицы М.
§ 4. Уравнения движения. Законы сохранения
4.1. Частица в поле U(x) = -Fx за время т перемещается из точки х = 0 в
точку х = а. Найти закон движения частицы, предполагая, что он имеет вид
x(t) = At2 + Bt + С, и подбирая параметры А, В, С так, чтобы действие
имело наименьшее значение.
4.2. Частица движется в плоскости хОу в поле
перемещаясь за время т из точки (-а, 0) в точку (а, а). Найти закон
движения частицы, предполагая, что он имеет вид
XI, 2 (t) = A\^t + B\t 2,
Vl,2{t) = C\^t + ?>1,2-
Значки 1, 2 относятся к левой [х < 0) и правой (х > 0) полуплоскостям.
4.3. С помощью непосредственного вычисления доказать ковариантность
уравнений Лагранжа относительно преобразований координат
Qi - Qi(Q 1; Q2, • • • ; Qs, , i - 1, 2, . . . , S.
4.4. Каким образом должна преобразовываться функция Лагранжа при переходе
к новым координатам и "времени"
чтобы уравнения Лагранжа сохранили свой вид?
4.5. Записать функцию Лагранжа и уравнения движения частицы в поле U(x),
введя "местное время" т = t - \х.
при х < 0, при х > 0,
qi = qi(Q 1, Q2, ¦ ¦ ¦, Qs, т), г = 1, 2, ..., s, t = t(Qi, Q2, • • •,
Qs, t),
4.10] §4. Уравнения движения. Законы сохранения 17
4.6. Как преобразуется функция Лагранжа
при переходе к координатам q и "времени" т:
х = gch А + rshA, t = q sh Л + r ch Л?
4.7. Найти законы преобразования энергии и обобщенных импульсов при
преобразовании координат
Qi = fi(Qi, ¦ ¦ •, Qs,t), i = l, s.
4.8. Найти законы преобразования энергии и обобщенных импульсов,
сопряженных полярным и декартовым координатам, при переходе к системе
отсчета, вращающейся вокруг оси z:
а) р = ip' + Sit, г = г';
б) х = х' cos Sit - у' sin Sit, у = х' sin Sit + у' cos Sit.
4.9. Найти законы преобразования энергии и импульсов при переходе к
системе отсчета, движущейся со скоростью V. Функцию Лагранжа L' в
движущейся системе выбрать в виде
а) L[ = L(y' + Vi, v' + V, t), где L(r, r, t) - функция Лагранжа
в неподвижной системе;
/2
б) L'2 = ----U(г' + Vi, i). Здесь L'2 отличается от L[ на полную
производную по времени от функции
Vmr' + |V2i.
4.10. Пусть бесконечно малое преобразование координат и времени имеет вид
q'i = qi+?^i(q, t), t' = t + eX(q, t), ? -> 0, и пусть при этом
преобразовании сохраняется вид действия:
12 ^2
^1 t'±
18
Задачи
[4.11
Доказать, что величина
является интегралом движения.
4.11. Обобщить теорему предыдущей задачи на случай, когда вид действия
при преобразовании координат и времени меняется следующим образом:
4.12. Найти интегралы движения, если вид действия не меняется при:
а) пространственном сдвиге, б) повороте, в) сдвиге начала отсчета
времени, г) винтовом сдвиге, д) преобразовании задачи 4.6.
4.13. Найти интегралы движения для частицы, движущейся:
а) в однородном поле U(г) = Fr;
б) в поле U(г), где U(r) - однородная функция:
(уточнить, при каком п преобразование подобия не меняет вид действия);
в) в поле бегущей волны U(r, t) = U(r - Vi), где V - постоянный вектор;
г) в магнитном поле, заданном векторным потенциалом А(г), где А (г) -
однородная функция.
д) в электромагнитном поле, вращающемся с постоянной угловой скоростью И
вокруг оси z.
4.14. Найти интеграл движения, отвечающий преобразованию Галилея.
УКАЗАНИЕ. Использовать результат задачи 4.11.
4.15. Найти интегралы движения для частицы в однородном постоянном
магнитном поле Ж, если векторный потенциал задан в виде:
dt'
U(a г) = anU( г)
а) А = ^[Ж г]; б) Ах = Az = О, Ау = хЖ.
4.21] §4. Уравнения движения. Законы сохранения 19
4.16. Найти интегралы движения для частицы в поле:
а) магнитного диполя А = [mr]/r3, m = const;
б) Av = p/r, Ar = Az = 0.
4.17. Составить уравнения движения системы, функция Лагранжа которой:
X
а) L(x, х) = е-(r)2-*2 + 2хе~х2 J е~у dy,
о
б) L(x, х, t) = ^eat(x2 - to2x2).
4.18. а) Записать компоненты вектора ускорения частицы в сферической
системе координат.
б) Найти составляющие ускорения в ортогональной системе координат qi,
если элемент длины задан соотношением
ds2 = h2 dqf + h2 dq2 + h\ dq%,
где hi(qi, q2, дз) - коэффициенты Ламэ.
4.19. Записать уравнения движения частицы в произвольных координатах qi,
связанных с декартовыми координатами соотношениями:
а) Xi = Xi{qx, q2l q3), г = 1, 2, 3;
б) Xi = Xi{cp, q2, q3l t), * = 1,2, 3.
4.20. Показать, что функция Лагранжа [31]
L = ту (г2 + г2в2 + г2ф2 sin2 в) - ^(ficose 2 ^
описывает движение заряженной частицы в магнитном поле Ж = gr/r3 (см.
задачу 2.30). Найти интегралы движения.
4.21. Проверить, что функции Лагранжа
Г 77 Г 42 j, 77
Li = -2------------Uqi, 2 = ~2С q2
