Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коткин Г.Л. -> "Сборник задач по классической механике" -> 10

Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.

Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике — И.: НИЦ, 2001. — 352 c.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpomehaniki2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 86 >> Следующая

6.39. Пусть система, совершающая малые колебания (а следовательно, и ее
функция Лагранжа L(x, х)) не изменяет своего вида при замене
г, 3 =
1. 2,
N,
причем постоянные коэффициенты Sij = Sji удовлетворяют условию1
'у s,.:iS:ik - 9 /7,' ¦
Доказать, что:
а) если нормальное колебание Xi - Ai cos(cot + ip) невырожденное, то
амплитуды Ai симметричны или антисимметричны относительно данного
преобразования, т. е. или SijAj = +Ai, или SijAj = -Aj;
j j
б) если частота вырождена, то можно выбрать нормальные колебания
симметричными или антисимметричными;
Это условие означает, что при двукратном преобразования система
возвращается в исходное состояние. Таким свойством обладают, например,
отражения относительно плоскости симметрии системы или повороты на 180°
относительно оси симметрии.
36
Задачи
[6.40
в) если на систему действует внешняя сила, симметричная
(антисимметричная) относительно данного преобразования, то
антисимметричные (симметричные) нормальные колебания не возбуждаются.
(Это один из примеров так называемых правил отбора.)
6.42. Найти поправки к частотам нормальных колебаний системы четырех
частиц на кольце (рис. 29), возникающие при малых изменениях масс - на
5т\ для первой и на 5т2 для второй частицы.
6.43 а. Используя соображения симметрии, определить векторы нормальных
колебаний системы частиц (рис. 36 а). Все массы частиц и пружинки
одинаковы.
т
6.40. Используя соображения симметрии, найти нормальные колебания системы
рис. 35.
k
Рис. 35
k
6.41. Описать свободные колебания системы (см. рис. 32), если в начальный
момент частицы 1 и 4 смещены навстречу друг другу на одинаковые
расстояния в горизонтальном направлении, а начальные скорости всех частиц
равны нулю. Натяжение пружинок / = kli; I -1\ <С I, где I - равновесное
расстояние между частицами (ср. с задачей 6.31).
В
Aim mi Е
3/
3/
В
Рис. 36 а
Рис. 36 б
6.47]
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
Ъ1
6.43 б. Найти собственные колебания "весов" рис. 36 б. Подвес жесткой
рамки BCD осуществлен с помощью короткой гибкой нити, допускающей любые
повороты рамки вокруг точки С. Длины стержней ВС = = CL = I, BD = 1л/3,
длины нитей АВ = DЕ = 31. В точках А, В, D, Е закреплены одинаковые
грузики. Массы стержней и нитей не учитывать.
6.44. Найти нормальные колебания системы восьми масс, прикрепленных
пружинками к неподвижной рамке (рис. 37). Жесткости к, натяжения / и
длины I всех пружинок одинаковы.
6.45. Рамка, изображенная на рис. 37, колеблется вдоль направления АА по
закону a cos 7?. При каких значениях частоты 7 возможна резонансная
раскачка колебаний?
6.46. Найти нормальные колебания линейной симметричной молекулы ацетилена
С2Н2 (рис. 38), предполагая, что потенциальная энергия молекулы зависит
как от расстояния между соседними атомами, так и от углов НСС.
Рис. 37
Н
С С Рис. 38
А
Н
С
D
А
> 0
с С
В
Рис. 39
Рис. 40
6.47. Две одинаковые частицы прикреплены пружинками к неподвижной рамке
(рис. 39). Система симметрична относительно оси CF. Какие сведения о
нормальных колебаниях можно получить, не зная жесткостей и натяжении
пружинок?
38
Задачи
[6.48
6.48. Классифицировать собственные колебания молекулы этилена С2Н4 по их
свойствам симметрии относительно осей АВ и CD (рис. 40). В положении
равновесия все атомы молекулы расположены в одной плоскости.
6.49. Найти нормальные колебания молекулы, имеющей форму равностороннего
треугольника. Считать, что потенциальная энергия зависит только от
расстояний между атомами (все атомы одинаковы). Момент с точностью до
малых первого порядка включительно по амплитуде колебаний равен нулю.
6.50. Молекула АВ3 имеет форму правильного треугольника, в центре
которого находится атом А, а в вершинах - атомы В (такова, например,
молекула хлорида бора BCI3).
а) Используя соображения симметрии, определить кратность вырождения
собственных частот молекулы.
б) Определить, насколько изменятся частоты колебаний, оставляющих
молекулу равносторонним треугольником, и колебаний, выводящих атомы из
плоскости, если один из атомов В (его масса то) заменить его изотопом,
близким по массе (то + 5т). Масса атома А равна тод.
6.51. Используя соображения симметрии, определить кратность вырождения
различных собственных частот "молекулы", состоящей из четырех одинаковых
"атомов" и имеющей в положении равновесия форму правильного тетраэдра.
6.52. Молекула метана СН4 имеет форму правильного тетраэдра, в вершинах
которого расположены атомы водорода, а в центре - атом углерода.
а) Определить кратности вырождения собственных частот молекулы.
б) На скольких различных частотах происходит резонансное возбуждение
собственных колебаний молекулы СН4, если на нее действует однородное
переменное электрическое поле? (Речь идет фактически об электромагнитных
волнах инфракрасного диапазона, длина волны которых на несколько порядков
больше размеров молекулы.) Учесть, что атомы водорода и углерода имеют
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 86 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed