Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
можно было использовать в качестве производящей функции канонического
преобразования?
Рассмотреть, в частности, пример
Ф(д, P)=q2 + Р2.
11.4. Показать, что для системы с одной степенью свободы поворот в
фазовом пространстве (q, р) является каноническим преобразованием.
11.5. Рассматриваются малые колебания ангармонического осциллятора,
функция Гамильтона которого
H = P^ + ^f+ax^+Pxp2
и \ах\ <С ш2, \(3х\ С 1. В каноническом преобразовании, задаваемом
производящей функцией Ф = хР + ах2Р + ЪР3, подобрать параметры а и b так,
чтобы новая функция Гамильтона с точностью до членов первого порядка по
aoj~2Q, IQ включительно не содержала ангармонических членов, и найти
x(t).
11.6. В каноническом преобразовании, задаваемом производящей
функцией Ф = хР + ах3Р + ЪхР3, подобрать параметры а и Ь так, что-
2 2 2
бы малые колебания ангармонического осциллятора Н = -Ь (ЗхА
11.11]
§11. Канонические преобразования
57
в новых переменных Q, Р сводились к гармоническим. Членами второго
порядка по [3lu~2Q2 в новой функции Гамильтона пренебречь.
11.7. Показать, что преобразование
Ру Р
х = X cos Л + -zzr- sin Л, у = Y cos Л + sin Л,
fflUJ а IllLu
ру = -тмХ sin Л + Ру cos Л, рх = -muiY sin Л + Рх cos Л
является каноническим. Найти новую функцию Гамильтона, Н'(Р, Q), если
Н(Р, 4) = P^L + mf{x2+y2)
(ср. с задачей 11.17). Описать движение двумерного осциллятора при Y = =
Ру = 0.
11.8. Используя преобразование предыдущей задачи, привести функцию
Гамильтона изотропного гармонического осциллятора в магнитном поле,
заданном векторным потенциалом А = (0, Жх, 0), к сумме квадратов и найти
закон его движения.
11.9. С помощью канонического преобразования привести к диагональному
виду функцию Гамильтона анизотропного заряженного осциллятора с
потенциальной энергией U(г) = ^(сс^х2 + ео2у2 + J\z2), находящегося в
однородном постоянном магнитном поле, заданное векторным потенциалом А =
(0, Жх, 0).
11.10. Применяя каноническое преобразование задачи 11.7 к парам
нормальных координат, соответствующих стоячим волнам системы частиц на
кольце (см. задачу 7.3), получить координаты, соответствующих бегущим
волнам.
11.11. Показать, что преобразование 1 -_(р2Р\ sinQi + Р2),
X =
Рх = У =
/ти
/гпсо
/гаси
{p2J\ sinQi - Q2), :(\/'2Pi cos Qi + Q2),
\f TflLO /---
py = -^-(-л/2Р1 sin Q\ + P2)
58
Задачи
[11.12
является каноническим. Найти уравнения Гамильтона частицы в магнитном
поле, заданном векторным потенциалом А = (^-^уЖ, ^хЖ, oj в новых
переменных. Здесь и> =
11.12. Каков смысл канонического преобразования, задаваемого производящей
функцией Ф(д, Р) = aqPl
11.13. Показать, что градиентное преобразование потенциалов
электромагнитного поля является каноническим преобразованием для
координат и импульсов заряженных частиц, и найти соответствующую
производящую функцию.
11.14. Как известно, замена функции Лагранжа L(q, q, t) на
L'(q, q, t) = L(q, q, t) + ^,
где f(q, I ) - произвольная функция, не изменяет уравнений Лагранжа.
Показать, что это преобразование является каноническим, и найти его
производящую функцию.
11.15. Найти производящую функцию канонического преобразования,
состоящего в переходе от q(t), p(t) к Q(t) = q(t + т), P(t) = p(t + т), т
= const для:
а) свободного движения,
б) движения в однородном поле, U(q) = -Fq;
в) осциллятора.
11.16. Выяснить смысл канонических преобразований, задаваемых
производящими функциями:
а) Ф(г, Р) = гР + йаР;
б) Ф(г, Р) = гР + <$у>[гР];
в) Ф(д, Р, t) = qP + 5rH(q, Р, t);
г) Ф(г, Р) = гР + Sa(г2 + Р2),
где г - декартовы координаты, а <$а, 5ip, 5т, 5а - бесконечно малые
параметры.
11.17. Показать, что каноническое преобразование, задаваемое производящей
функцией
Ф(ж, у, Рх, Ру) = хРх + уРу + е(ху + РхРу),
где е -х 0, представляет собой поворот в фазовом пространстве.
11.23] §11. Канонические преобразования 59
11.18. Указать производящие функции для бесконечно малых канонических
преобразований, представляющих собой:
а) винтовое движение;
б) преобразование Галилея;
в) переход к вращающейся системе отсчета.
11.19. Каноническое преобразование задано производящей функцией Ф(q, Р) =
qP + А ГГ(q, Р), где Л -> 0.
Для произвольной функции /(q, р) найти с точностью до первого порядка
малости изменение ее величины, связанное с изменением аргументов
5f{q, р) = f(Q, Р) - f(q, р)-
р2
11.20. Найти {Н, гр}, где функция Гамильтона Н(г. р) = Ь
ят Лтп
Н -, и получить, исходя из результата, интеграл уравнений движения.
г
Для вычисления удобно воспользоваться результатами предыдущей задачи и
задачи 11.12.
11.21. Найти изменение вида зависимости М, р2, pr, Н(г, р, t) от г и р
при преобразованиях задачи 11.16.
11.22. Показать, что результат последовательного выполнения двух
бесконечно малых канонических преобразований, заданных производящими
функциями
(r)i(q, Р) = qP + AjWj(q, Р), Xi -> 0, г = 1,2,
не зависит от порядка их выполнения (с точностью до второго порядка
малости включительно), если
{Wx(q, р), W2{q, р)} = 0.
