Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
периодической функцией с периодом, равным периоду так называемой обратной
решетки2. В остальном рассматриваемые далее зависимости е(р) можно
считать произвольными.
10.10. Известно, что е(р) является периодической функцией р с периодом,
равным периоду обратной решетки, умноженным на 2тг// (например, для
кубической решетки с периодом а период е(р) равен 2тгН/а).
Определить закон движения электрона в однородном электрическом поле ?.
УКАЗАНИЕ К ЗАДАЧАМ 10.11-10.13. В этих задачах удобно, кроме обобщенного
импульса Р, ввести кинематический импульс р = Р - ^А, где А - векторный
потенциал магнитного поля.
10.11. Полагая функцию Гамильтона
Я(Р, г) =е(Р-|А)+е?>,
получить уравнения движения (заряд электрона е < 0).
10.12. а) Найти интегралы движения электрона в твердом теле в однородном
магнитном поле. Как выглядит "траектория" в импульсном пространстве?
б) Доказать, что проекция траектории электрона в однородном магнитном
поле на плоскость, перпендикулярную к Ж, в обычном пространстве
получается из траектории в импульсном пространстве поворотом и изменением
масштаба.
10.13. Выразить период обращения электрона в однородном магнитном поле
через площадь S(E, руе) сечения поверхности в е(р) = Е в
у/)
импульсном пространстве плоскостью руе = р -- = const.
10.14. Вычислить скобки Пуассона:
а) {Mi, Xj}, {М{, pj}, {Mi, Mj};
б) {ap, br}, {aM, br}, {aM, bM};
в) {M, rp}, {p, rn}, {p, (ar)2}.
Здесь Xi, pi, Mi - декартовы компоненты векторов, a, b - постоянные
векторы.
2Например, для кристалла, решетка которого обладает в направлении оси х
наименьшим периодом а, имеем е{рх, Ру, Pz) = z(px + , ру, Pz\ где h -
постоянная Планка.
54
Задачи
[10.15
10.15. Вычислить {Ai, Aj}, где
Ai = |(ж2 +р2х -у2 -р2у), А2 = 7,{ху+рхру),
Аз = \{хру-урх), А4 = х2 + у2 + р2 + р2.
10.16. Вычислить {Mi, Ajk}, {Лjk, Лд}, где Aik = хгхк +ргрк-
10.17. Показать, что {AIZ, р) = 0, где р - любая скалярная функция
координат и импульсов частицы.
Показать, что {Mz. f} = [nf], где n - единичный вектор в направлении оси
z, a f - векторная функция координат и импульсов частицы, т. е. f =
= r^i +РР2 + [rp] (p3H(pi= Рг(г2, P2, (rp)).
10.18. Вычислить скобки Пуассона {f, аМ}, {fM, 1М}, где a = = const, a f
и 1 - векторные функции г и p.
10.19. Найти {Mq, АЦ{, где М^, АЦ - проекции момента импульса на оси С, ц
декартовых координат, жестко связанных с вращающимся твердым телом.
10.20. Составить уравнения движения проекции А1а момента импульса на оси,
связанные со свободно вращающимся телом. Функция Гамильтона
н = \
а, (3
10.21. В этой задаче рассматривается модель электронного и ядерного
парамагнитного резонанса (см. [18], гл. IX). Функция Гамильтона
намагниченного шара в однородном магнитном поле Ж имеет вид
я = Ml - 7мж,
где I - момент инерции шара, 7 - гиромагнитное отношение.
Составить уравнения движения вектора момента импульса М и найти закон его
движения в случаях:
а) Ж = (0, 0, Ж0);
б) Ж = (Ж1 cos cat, Ж\ sinuit, Жо) и в начальный момент М = = (0, 0, М0).
10.22. Найти {vi, /7} для частицы в магнитном поле.
10.26]
§ 10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона
55
10.23. Доказать, что значение любой функции координат и импульсов
системы f(p(t), q(t)) выражается через значения р и q в момент t = 0
формулой
- функция Гамильтона. (Ряд предполагается сходящимся.)
Вычислить с помощью этой формулы p(t), q(t), p2{t), q2(t) для:
а) частицы в однородном поле;
б) осциллятора.
10.24. Доказать равенства
10.25. а) Пусть функция Гамильтона зависит от переменных q\, р\ лишь
через посредство функции f(qi, р\)
Н = рг), q2, р2, ¦ ¦ •, 9лг, Pn)¦
Доказать, что f(qi, pi) есть интеграл движения.
б) Найти интегралы движения частицы в поле U = ^ (использовать
сферические координаты).
10.26. Как известно, для частицы в поле U = -а/г существует
интеграл движения аг
А = [v, М] - -.
а) Вычислить скобки Пуассона {Ai, Aj}, {Ai, Mj}.
б) В случае финитного движения (Е < 0) для векторов J |. 2 =
Jl, 2}, {Ju, ^2 j}, {'Д.г, Jlj } , {^2г, ^2 j}
и сравнить их со скобками Пуассона для компонент момента импульса М.
Выразить функцию Гамильтона Н через Ji и J2-
f(p(t), q(t)) = f+ А{Я, /} + | {Я, {Я, /}} + ...,
где
/ = /(р(0),9(0)), а Н = H(p(0), q(0))
а) {f(pi, 9l), <&(cp(pi, qi), Р2, 92, •••)}= v}',
б) {f(pi, 91, Р2, 92), Ф(<р(Р1, 9i, Р2, 92), Рз, 9з, •••)} = тгЧ/, 'Г};
вычислить скобки Пуассона
56 Задачи [11.1
§11. Канонические преобразования
11.1. Найти каноническое преобразование, задаваемое производящей
функцией:
а) F(q, Q, t) = ^mcj(t)q2 ctg Q.
Записать уравнения движения в переменных Q и Р для гармонического
осциллятора с частотой
б) F(q, Q, t) = imw \q - ctg Q.
z L mio J
Записать уравнения движения в переменных Q и Р для гармонического
осциллятора, на который действует внешняя сила F{t).
11.2. Найти производящую функцию вида Ф(р, Q), приводящую к тому же
каноническому преобразованию, что и F(q, Р) = q2ep.
11.3. Какому условию должна удовлетворять функция Ф(с/. Р), чтобы ее
