Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
'Это означает, что сцепление диска с плоскостью в "точке" соприкосновения
таково, что площадка в месте контакта не скользит по плоскости и не
проворачивается. Потерями энергии на трение качения пренебречь.
50 Задачи [9.21
б) Найти уравнения движения описанного шара, если он катится без
проскальзывания по горизонтальной плоскости.
9.21. Найти отклонения к востоку и к югу от вертикали свободно падающего
с высоты h тела. Начальная скорость тела равна нулю.
9.22.1 Сосуд, частично заполненный постепенно затвердевающей эпоксидной
смолой, приводят во вращение с угловой скоростью uJo вокруг оси АВ,
которая в свою очередь вращается вокруг неподвижной оси CD с угловой
скоростью (рис. 60). Какую форму примет, затвердев, поверхность смолы?
Рис. 60 Рис. 61
9.23. Частица движется в центральном поле U(r). Найти уравнение
траектории и закон движения в системе координат, равномерно вращающейся с
угловой скоростью 12, параллельной моменту импульса М.
9.24. Найти малые колебания частицы то, прикрепленной пружинками
жесткости fci и /с2 к рамке, вращающейся в своей плоскости с угловой
скоростью 12 (рис. 61). Частица может двигаться в плоскости рамки.
2 у2
9.25. Гладкий параболоид 2z = + - вращается вокруг вертикаль-
ной оси z с угловой скоростью си. При каком значении ш нижнее положение
неустойчиво для частицы, находящейся внутри параболоида? Ускорение силы
тяжести g = (0, 0, -д).
1 Задача В. С. Кузьмина и М. П. Перельройзена.
10.3]
§ 10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона
51
9.26. Рамка с частицей массы т, закрепленной на пружинках (длины которых
I, коэффициенты жесткости к и натяжения при неподвижной рамке /)
вращается с угловой скоростью 7 вокруг оси z, смещенной на расстояние а
от центра рамки (рис. 62).
Определить равновесное расстояние частицы от оси и исследовать его
устойчивость.
Рассмотреть следующие случаи:
а) частица может двигаться только вдоль пружин;
б) возможны любые смещения частицы.
9.27. Две звезды движутся по окружностям вокруг их центра масс. В системе
отсчета, в которой звезды неподвижны, найти такие точки, в которых
помещенное там легкое тело также остается неподвижным. Исследовать
устойчивость этих "положений равновесия". (Ограничиться точками, не
лежащими на прямой, соединяющей звезды.)
9.28. Определить нормальные колебания трехатомной молекулы, описанной в
задаче 6.49, если ее момент импульса М не равен нулю. Угловая скорость
вращения молекулы О <С у/к/т; здесь к - коэффициент жесткости связи.
Момент импульса перпендикулярен к плоскости молекулы.
§ 10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона
10.1. Пусть функция Гамильтона Н системы частиц не изменяется при
бесконечно малом переносе (повороте). Вывести отсюда закон сохранения
импульса (момента импульса).
10.2. Найти функцию Гамильтона свободно движущегося симметрического
волчка, выбрав в качестве координат эйлеровы углы в, ip, ф.
10.3. Определить функцию Гамильтона ангармонического осциллятора, функция
Лагранжа которого
¦ 2 2 2 Т X их 3,0-2
L = ------------ ах + рхх .
О у
w/m*www
10.4 а. Найти закон движения частицы, функция Гамильтона которой
52
Задачи
[10.5
10.4 б. То же для Н(ж, р) = А^/р - xF.
10.5. Найти уравнения движения частицы, функция Гамильтона ко-
й Н(р, г) = (луч света).
п( г)
Найти траекторию, если п(г) = ах.
10.6. Найти функцию Лагранжа, если функция Гамильтона равна
10.7. Найти закон движения заряженной частицы в однородном постоянном
магнитном поле Ж, решая уравнения Гамильтона. Векторный потенциал выбрать
в виде
10.8. Исследовать качественно движение заряженной частицы в неоднородном
магнитном поле, описываемом векторным потенциалом А = = (0, hx2, 0).
Сравнить с дрейфовым приближением.
10.9. Показать, что задача о движении двух частиц с противоположными
зарядами (е и -е) в однородном магнитном поле приводится к задаче о
движении одной частицы в заданных потенциальном и магнитном полях [30].
В задачах 10.9-10.13 идет речь о движении электронов в металле или
полупроводнике. Электроны в твердом теле представляют собой систему
частип, взаимодействующих как друг с другом, так и с ионами, образующими
кристаллическую решетку. Их движение описывается квантовой механикой. В
теории твердого тела часто удается привести задачу о движении многих
взаимодействующих частиц, составляющих тело, к задачам о движении
отдельных свободных частиц (называемых квазичастицами - электронами или
дырками в зависимости от знака заряда), имеющих, однако, сложную
зависимость энергии от импульса е(р) ("закон дисперсии")1.
'Например, для дырок в кристаллах германия и кремния
где оси координат выбраны в соответствии с симметрией кристаллов, т -
масса электрона, а константы А, В, С имеют следующие значения:
Ау = Жх, Ах = Az = 0.
е(р) = ^ [ар2 ± \/в2рА + с2 (р%р1 + pIp2z + plpl) ]
ABC
Ge -13,1 8,3 12,5 Si -4,0 1,1 4,1
10.14] §10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона 53
Во многих случаях оказывается возможным рассматривать движение
квазичастиц с помощью классической механики. Функция е(р) является
