Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
12.6. Определить траектории и законы движения частиц, рассеиваемых и
падающих в центр поля (./(г). Траекторию выразить через квадратуры, а при
Ер2 ^ а - и аналитически.
Для первого поля найти аналитическое выражение траектории частицы
падающей в центр при Ер2 <С а. Скорость частиц до рассеяния параллельна
оси z.
а)Щг) = ас^в. б) U(r)=-a{1+fa()).
12.7. Найти траекторию и закон движения частицы, падающей в центр поля
U(г) = аг/г3. На бесконечности частица летит вдоль прямой у = = р, х = -z
tga, где р - прицельный параметр (вектор а параллелен оси z, начальные
сферические координаты частицы г = оо, в = тг - а,
2 Е
Г = 0). Траекторию выразить через квадратуры, а при a2<^" 1-и
аналитически.
12.8. а) Определить траекторию (выразить через квадратуры) финитного
движения частицы в поле U(г) = ac°s^ - ^ при Mz = 0.
г
б) То же для поля U(г) = ac°s^ + .
г г
12.9. При каком условии траектория, найденная в предыдущей задаче,
окажется замкнутой?
12.10. Описать качественно характер движения частицы и вид траекторий в
поле
и^> = рг - "¦¦
64 Задачи [12.11
12.11. При каких значениях момента импульса Mz частицы возможно
финитное движение в поле U{г)?
a) U(г) = 1- Ьсофв. g) U{r) = Ьсофв _ а
Как выглядит при этом траектория?
12.12. Найти уравнение траектории и закон движения частицы в поле U(г) в
параболических координатах:
a)H(r) = -f;6) U(r) = -f-Fr.
В случае б) ограничиться рассмотрением финитного движения, траекторию и
закон движения выразить в квадратурах.
12.13. Внутри гладкого упругого эллипсоида вращения
х2 , У2 . z2
а2 а2 с2 "
движется частица, вылетевшая из начала координат под углом а к оси z.
Найти области эллипсоида, недоступные для частицы.
12.14. Найти траекторию частицы (выразить через квадратуры) в поле двух
куло-новских центров U(г) = у - -у (рис. 63),
если скорость частицы на бесконечности параллельна оси ()¦>() \ z.
Описать движение частицы, "падающей" на "диполь", образованный данными
центрами.
12.15. Короткая магнитная линза образована полем, определяемым векторным
потенциалом Av = ^гЖг(г),
Ат = Az = 0 (Жг(г) отлично от нуля в области \z\ < а). Из точки (0, 0,
го) на линзу падает пучок электронов, близких к оси z. Найти точку (0, 0,
z\), где пучок будет сфокусирован. Предполагается, что zo, z\ а.
УКАЗАНИЕ. Интеграл уравнения Гамильтона-Якоби искать в виде разложения по
степеням г
S(r, ip, z, t) = -Et + pvp + f(z) + гф{г) + у<t(z) + ...
12.16. Магнитная линза образована полем, определяемым векторным
потенциалом Av = \гЖг(г), Ar = Az = 0, где Жг(г) = -^ . Из
* 1 + X Z
точки (0, 0, zq) на линзу падает пучок электронов, близких к оси г. Найти
точки, в которых он будет сфокусирован.
Рис. 63
13.4]
§13. Адиабатические инварианты
65
УКАЗАНИЕ. Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби искать в виде
разложения по г.
12.17. Каким образом можно найти действие как функцию координат и
времени, зная полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби?
12.18. Сформулировать и доказать теорему об интегрировании уравнений
движения с помощью полного интеграла уравнения
dS , тт( дБ ,
m+H\-Wp'
О,
где H(q, р, t) - функция Гамильтона. (Уравнение Гамильтона-Якоби в р-
представлении.)
12.19. С помощью уравнения Гамильтона-Якоби в р-представлении найти
траекторию и закон движения частицы в однородном поле.
§ 13. Адиабатические инварианты
13.1. На нити, пропущенной через колечко А (рис. 64), подвешена частица
массы то. Определить среднюю силу, действующую на колечко А со стороны
нити при малых колебаниях маятника. Найти изменение энергии маятника при
медленном вертикальном перемещении колечка.
13.2. Частица движется в прямоугольной потенциальной яме ширины I. Найти,
как изменяется энергия частицы при медленном изменении I, рассматривая
столкновения частицы со "стенкой" ямы.
13.3. Шарик, находящийся в лифте, подскакивает над упругой плитой. Как
изменяется максимальная высота, на которую поднимается шарик, когда
ускорение лифта медленно изменяется? Как меняется высота, если плита
медленно поднимается?
13.4. Как изменяется энергия частицы в поле U при медленном изменении
параметров поля?
и0
а) и = А(е~2ах - 2е~ах)
в) U = Uq tg2 ах;
б) U = -
ch2
ах
t)U = А\х\
66
Задачи
[13.5
УКАЗАНИЕ. Может оказаться удобным использовать формулу ([1], §49),
.81
Т = 2тг
ЭЕ'
Рис. 65
13.5. Частица движется по наклонной плоскости АВ (рис. 65), упруго
отражаясь от стенки в точке А. Найти, как изменяется максимальная высота
подъема частицы при медленном изменении угла а.
13.6. Как изменяется амплитуда колебаний маятника О А (рис. 66),
находящегося в наклонной плоскости, при медленном изменении угла а?
13.7. Найти адиабатический инвариант для математического маятника, не
предполагая колебания малыми.
13.8. Вдоль прямой О А (рис. 67) могут двигаться две частицы,
представляющие собой упругие шарики малого радиуса, массы которых
соответственно то и М, причем то <С М. В точке О частица то отражается от
упругой стенки. Предполагая, что в начальный момент скорость легкой
