Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
единице) и сделаем замену переменной Ла^>-Л. Мера dp [Л] и функционалы
S [А], А/ [Л] инвариантны при такой замене. Интеграл (20.4) сводится к
произведению объема группы на интеграл
J ехр (iS [Л])Д, [А] [Пб (/ (A))]dp [Л]. (20.10)
X
Именно этот интеграл будет исходным в квантовой теории калибровочных
полей.
Покажем, что интеграл (20.10), формально зависящий от выбора
поверхности f (Л) = 0, на самом деле инвариантен по отношению к выбору
поверхности. Для доказательства вставим под знак интеграла (20.10)
"другую единицу":
1 = Ag [Л] J П6 (g(A (x)))dQ (х), (20.11)
X
где g (Л) = 0 - уравнение другой поверхности, которая, как и поверхность f
(Л) = 0, однократно пересекается с орбитами группы.
Изменив порядок интегрирования по Л и Q, сделав затем сдвиг Ля -> Л и,
наконец, снова поменяв местами порядок интегрирования по Л и Q,
приведем интеграл (20.10) к виду
j ехр (1S [Л])Д, [Л] {Пб (g (A)))dp [Л]. (20.12)
X
Описанный прием позволяет переходить в континуальном интеграле от
одной поверхности к другой, или, как еще можно сказать, от одной
калибровки к другой. В частности, такой способ удобен при переходе от
гамильтоновой формы континуального интеграла к интегралу в
релятивистской калибровке. Ниже мы проследим такой переход на
конкретных примерах.
Можно указать метод выделения из континуального интеграла объема
калибровочной группы более общий, чем только что описанный. Рассмотрим
калибровочно-неинвариантный функционал F [Л]. Определим функционал Ф
[Л] уравнением
Ф ГЛ] J F[A'"]ГШ (х) = 1. (20.13)
X
Этот функционал калибровочно-инвариантен. Конечно, необходимо
потребовать, чтобы континуальный интеграл в левой части выражения
(20.13) действительно существовал. Вставив левую часть
(20.13) в интеграл (20.5) и сделав затем сдвиг Лй->- Л, получим про-
изведение объема группы (20.6) на интеграл:
J ехр (15 [Л ])Ф [Л]F [Л]dp [А]. (20.14)
Введенный выше интеграл (20.10) - частный случай (20.14). Независимость
интеграла (20.14) от выбора функционала доказывается так
181
же, как и независимость интеграла (20.10) от выбора поверхности
Функции Грина в теории калибровочных полей определим как средние
от произведения функций поля в различных точках пространства - времени
Г4. Производящий функционал для функций Грина имеет вид
где 5 [Л] - действие поля А; йц [А] - локальная калибровочно-
инвариантная мера; функционалы F и Ф определены выше; faAcPx есть
линейный функционал
где г)а (х) - произвольные пробные функции.
Функции Грина - вариационные производные функционала
(20.15) -зависят от выбора калибровки, т. е. от выбора
функционала F [Л]. Физические результаты, получаемые усреднением
калибровочно-инвариантных функционалов, от выбора калибровки не зави-
сят.
Отметим характерное отличие теории возмущений в теории ка-
либровочных полей от развитой в § 19 для теории скалярного поля. Пусть
действие S содержит малый параметр е. Действие S0, соответствующее
нулевому значению параметра е, будем считать квадратичной формой
полевых функций. Именно так обстоит дело в большинстве примеров из
теории поля.
При построении теории возмущений в формализме континуального
интеграла в § 19 функционал exp (iS) мы разлагали в ряд вида
по степеням е. Получившийся функциональный ряд затем почленно
интегрировали, вычисляя отдельные члены ряда теории возмущений с
помощью теоремы Вика, которая следует из того, что S0 - невырожденная
квадратичная форма.
В теории калибровочных полей под знак континуального интеграла
кроме функционала exp (iS) входит еще произведение функционалов ГФ.
Это произведение в теории возмущений также разлагается в ряд по е. Если
F-б-функционал, его разложение в ряд по в затруднительно. Поэтому
следует так выбирать уравнение поверхности f (Л) = 0, чтобы оно не
содержало параметра е. Таковы, например, уравнения, выделяющие
лоренцеву и кулонову калибровки в электродинамике, а также в теории
Янга-Миллса. В теории тяготения уравнениями с аналогичными
свойствами являются, например, условия гармоничности.
f (А) - 0.
(20.15)
(20.16)
оо
exp (iS) = exp (iS0)exp (iS2) = exp (iS0) 2 ^nen/n!
(20.17)
182
Отметим, что функция Л/ [Л] зависит от параметра е даже в том случае,
когда уравнение / (А) = 0 этого параметра не содержит. При этом
необходимо разлагать функционал Af [А]ехр (iS [Л]) в ряд вида
ехр (iS [A]) f (e"/nl)6n [А]. (20.18)
л = 0
В общем случае произведение
^0Фо ехр (iS0) = М0, (20.19)
где Fо, Ф0 - главные члены функционалов F и Ф, должно быть таким,
чтобы при интегрировании с М0 произведениями полей выполнялась теорема
Вика. Это свойство выполняется, если М0 есть экспонента от
невырожденной квадратичной формы или произведение экспоненты с
вырожденной квадратичной формой на 8-функционал, соответствующий
плоской поверхности, ортогональной нулевым направлениям этой
квадратичной формы.
Построение теории возмущений, возникающей из разложения (20.18),
будет рассмотрено подробнее на конкретных примерах. Только что
