Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коноплева Н.П. -> "Калибровочные поля" -> 85

Калибровочные поля - Коноплева Н.П.

Коноплева Н.П., Попов В.Н. Калибровочные поля — Москва, 1972. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): kalibrovochniepolya1972.pdf
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 105 >> Следующая

сформулированное правило, обеспечивающее справедливость теоремы Вика,
там будет выполняться.
§ 21. Квантовая электродинамика
Покажем, как работает общая схема квантования калибровочных полей,
на конкретных примерах*. Начнем с электромагнитного поля, наиболее
простого по геометрической структуре.
Действие свободного электромагнитного поля
S = 1/4 J (дцА v - ЭИм№ (21-1)
инвариантно относительно абелевой группы калибровочных преобразований:
ЛЛ*) + АЛ*) +W*). (21.2)
Из предыдущего параграфа следует, что квантование калибровочных
полей осуществляется с помощью континуального интеграла от функционала
Ф/7 ехр (iS), (21.3)
* В этом и следующем параграфах будем писать векторные индексы, внизу, не
делая различия между ко- и контравариантными составляющими. Повторяющиеся
греческие индексы показывают суммирование с учетом псев- доевклидовой метрики,
повторяющиеся латинские - суммирование по значениям 1, 2, 3. Например, ft2 = k =
k\ - k2; = d0A0 - dxAx -
д2Л2 - 53Л3; kxki = kl + Ц + &jb(r)jtv - тензор Минковского (с отличными от нуля
составляющими 800 = - б1Х = - б22 = - 833=1).
183


Где S - действиие системы; F - произвольный калибровочно-не-
инвариантный функционал, а функционал Ф-1 - среднее от F по
калибровочной группе.
Локальная мера интегрирования, имеющая в данном случае вид
з
^И] = ПП^(4 (21.4)
х ц = 0
очевидно, калибровочно-инвариантна. Остается выбрать функционал F \А].
Наиболее удобны для дальнейшего построения теории возмущений
функционалы вида:
Л[Л] = П"(М,1(*));
х
/С2 [Л] = П 6 (div л (JC)); (21.5)
*
Fs [А] = exp |( - i/2dt) j (д" Лм)2 d4 xj.
Функционалы Ft и F2 приводят к явно релятивистскому квантованию, а
использование F 3 удобно при переходе к гамильтоновой теории.
Соответствующие калибровочно-инвариантные функционалы даются
формулами:
ФГ1 И] = § П 5(5м.(Лй(х) + дцЯ(х)))сй(х);
X
Фу1 [Л] = |па (div А (л:) + yk(x))dk (х);
X
Фз1 [Л] = j exp {-(i/2d,) j (<?й (Лц (х) + д"Я (x))f d1 х) П dk (х).
(21.6)
Все эти функционалы не зависят на самом деле от поля Л^ (л;), в чем можно
убедиться, сделав в первом и третьем из них сдвиг к Я - ?_1ЗцЛи, а во
втором Я-"-Я - A_1div А. Поэтому с точностью до (бесконечного)
постоянного множителя можно считать, что
Ф1 = Ф2 = Фз=1. (21.7)
Теперь вид континуального интеграла определен во всех трех случаях.
Использование функционала F2 означает интегрирование по полям,
удовлетворяющим уравнению
div А = 0. (21.8)


Это хорошо известное условие кулоновой калибровки. Покажем, как
интеграл с функционалом Fв можно преобразовать к интегралу явно
гамильтонова вида. Такое преобразование в § 19 для вещественного
скалярного поля было сделано введением интеграла по вспомогательному
полю. В нашем случае к цели приводит континуальный интеграл вида
j ехр (iS [Лй, F^y]) f[6(divA(x))n^nW П dF^^x) (21.9)
х М- |Х < v
с действием
S [Ад, F"y) = I (1/4)/>/> - (1/2) Ffiv (dtlA v - dvA"))d% (21.10)
зависящим не только от вектора А^(х), но и от антисимметричного тензора
F^v (х). В классической теории F^v - напряженность электромагнитного
поля:
F^ = д"А,-дуА". (21.11)
При переходе к квантовой теории необходимо считать функции Ад, Fд
независимыми и интегрировать по ним как по независимым переменным.
Интеграл по Fllv в (21.9) можно взять точно. Для этого достаточно сделать
сдвиг
F^v-> /Vv + <V4v - 5Ид, (21.12)
превращающий интеграл (21.9) в произведение интеграла по Ад и интеграла
по вида
I ехр ((i/4) Г FpyF^x) П П dFtlv (х). (21*13)
X (X < V
Этот интеграл есть просто нормировочная постоянная.
Перепишем действие (21.10) в трехмерных обозначениях:
J [Ед0А - (1/2)Е2 + (1/2)Н2 - (Н, rot А) + А0 div Е]d% (21.14)
где
Et = Foi; Нх = Д23; Я2 = Fa; Я3 = Flt. (21.15)
Возьмем в (21.9) интеграл по Н, что сводится к замене Н rot А в действии
(21.14). Затем проинтегрируем по А0, что дает функционал
Пб (div Е (х)). (21.16)
X
Получим
| ехр (iS [А, Е])Пб (div A (x))8(div Е(х)) ШАг (x)dE{ (.х) (21.17)
х i= I
с действием гамильтонова вида
J [ЕдчА - (1/2) Е2 - (1/2) (rot A)2]d4x. (21.18)
185


Интеграл (21.17) является аналогом интегралов, рассмотренных
в § 18 при квантовании конечномерных механических систем со
связями. Здесь роль связи играет div Е, роль дополнительного ус-
ловия- уравнения кулоновой калибровки (21.8). Независимыми
переменными можно считать поперечные в трехмерном смысле со-
ставляющие векторов А и Е векторного потенциала и напряженнос-
ти электрического поля.
Разобранная схема квантования электромагнитного поля позво-
ляет построить формализм квантовой электродинамики без введения
индефинитной метрики.
Необходимость модификации континуального интеграла в кван-
товой электродинамике отмечалась Бялыницким-Бирулей [20],
который, по-видимому, впервые рассмотрел континуальный инте-
грал сб-функционалом Пб (дцЛД (однако без указания на возмож-
X
ность появления дополнительного множителя типа Af при переходе
к теории поля с неабелевой калибровочной группой).
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 105 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed