Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующая матрице А. Выражения г\*х = Х*Ч =
= 2 *?Лг - линейные формы образующих xt, xt, коэффициенты ко
торых т)г, т)* антикоммутируют друг с другом и с образующими. Эле
менты тр, тр вместе с образующими xh xt можно считать образую-
xtXj + XjXt = 0; xtx] + х)х* = 0; xtx*s + х]х^= 0.
(19.44)
Любой элемент алгебры f (х, х*) есть полином вида
(19.45)
ьпхЬпп ...х\^х1)ап...{х\Ук (19.46)
На описанной алгебре можно ввести интеграл
{/(л:, x*)dx*dx == J f (хъ ..., хп, х\, ..., xtt)dx\dxx...dxndxn, (19.47)
определив его соотношениями
J dxt = 0; j dxt = 0; \хгйхг = 1; J x'dxt - 1
(19.48)
I (ci/i + cj2)dx*dx = Ci j ftdx*dx -f- c2 f f"dx*dx.
(19.49)
j exp (-x*Ax)dx*dx = det A;
f exp (-x*Ax + т]*л; -f- x*r\)dx*dx/\ exp (-x*Ax)dx*dx = -
exp (т]*А-1 г]),
(19.50)
(19.51)
щими более широкой алгебры. Выражение т]*Л-1т1 в формуле (19.49) есть
квадратичная форма матрицы Л-1, обратной матрице Л.
Показательная функция в подынтегральных выражениях формул (19.50)
и (19.51) определяется разложением в ряд, гдев силу перестановочных
соотношений (19.44) лишь несколько первых членов разложения отличны от
нуля.
Формулу (19.50) нетрудно доказать, заметив, что вклад в интеграл дает
лишь п-й член разложения показательной функции. Формула (19.51)
доказывается сдвигом х-+ х + т], x*->x*-f т], уничтожающим линейную
форму по х, х* в подынтегральной экспоненте.
Подробное доказательство и некоторые обобщения формул (19.50),
(19.51) можно найти в монографии Ф. А. Березина [19].
§ 20. Квантовая теория
калибровочных полей
Изложим теперь общий способ квантования калибровочных полей в
формализме континуального интеграла по всем полям. Напомним, что
калибровочное поле есть связность расслоенного пространства, базой
которого служит пространство - время Vif а слоем является конечномерное
пространство представлений некоторой группы G0. Обозначим
калибровочное поле А, а его компоненты А?, где ц = 0, 1, 2, 3 -
пространственно-временной и а - "изотопический" индексы.
Калибровочная группа G есть прямое произведение групп G, действующих в
каждой точке К4:
G = UG0(x). (20.1)
X
Пусть Q - элемент калибровочной группы, являющийся функцией на К4
со значением в G0. Обозначим Аа результат действия элемента Q на поле А.
Совокупность полей Аа, когда А фиксировано, а ?2 пробегает
калибровочную группу, называется обычно орбитой калибровочной
группы.
Как мы видели, квантование поля с действием S сводится к усреднению
функционала ехр (iS) по всем полям. В 1еории калибровочных полей
действие S [А] калибровочно-инвариантно, т. е. одинаково для всех полей,
получающихся друг из друга калибровочными преобразованиями:
S [Ай] = S [А]. (20.2)
Другими словами, действие есть функционал на классах полей"
получающихся друг из друга калибровочными преобразованиями. В этой
ситуации естественно возникает задача перейти от интегрирования по всем
полям к интегрированию по классам полей. Ниже излагается один из
возможных подходов к этой задаче.
179
Для построения континуального интеграла необходимо выбрать меру в
многообразии всех полей А. Простейшей является мера
dn[A] = Y\H dAa"(x), (20.3)
х ц, а
где символ П был определен в § 19. Назовем эту меру локальной.
X
В конкретных примерах из теории калибровочных полей мера (20.3)
обладает свойством калибровочной инвариантности:
dpi [Лй] - dpi А]. (20.4)
Инвариантность действия 5 [Л] и меры dpi [А] относительно ка-
либровочных преобразований А Лй приводит к тому, что соответствующий
континуальный интеграл
j ехр (iS L4])dpL4) (20.5)
становится пропорциональным "объему орбиты", т.е. континуальному
интегралу
(TldQ (х) (20.6)
X
по калибровочной группе G. Здесь n<iQ (х) - инвариантная мера
X
на группе G, равная произведению на группах G0, действующих в каждой
точке пространства-времени V,t.
Излагаемый здесь подход к интегрированию по классам состоит в явном
выделении этого множителя для континуального интеграла. Такое выделение
можно реализовать несколькими способами. Идея одного из них состоит в
переходе от интеграла (20.5) к интегралу по поверхности в многообразии
всех полей, однократно пересекающейся е орбитами калибровочной группы.
Пусть уравнение поверхности есть
f (А) = 0. (20.7)
Уравнение f (Лй) = 0 дожно иметь при любом А (х) единственное решение
относительно Q (х).
Введем функционал Af[A], определив его условием
Д/ [А] | П6[/ (Лй (x))]dQ (х) = 1. (20.8)
X'
Здесь мы интегрируем по калибровочной группе G бесконечномерную б-
функцию Пб (/ (Лй (х))). Такая б-функция есть функционал,
X
определяемый заданием правила его интегрирования с другими
функционалами. В дальнейшем будет приведено несколько конкретных
примеров вычисления интегралов типа (20.8). Заметим, что функционал
А;[Л] калибровочно-инвариантен, т. е.
А^ [Лй] = А/[Л]. (20.9)
180
Чтобы выделить из континуального интеграла (20.4) множитель
(20.6) , вставим под знак интеграла левую часть формулы (20.8) (равную
