Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
Г exp (iS) if (х) if (у) П б (div A) dAd if dif
ва -i- * • (21.34)
Г exp (iS) П d (div A) dAdipdip
J X
Вставим в числитель и знаменатель правой части этой формулы интеграл
j Ш (д^А^-[jk)dk (х), который, как показано выше, не
л:
зависит от Лр, (х), а затем сделаем не меняющее действие преобразование
(21.20). При этом б-функция 6(5^^- ?!) превращается в б (д^Лл), а б (div А)
- в б (div А + АЛ). В числителе появляется множитель exp {ie (к (х) - к
(у))}, в котором можно заменить к (х) решением с (х) уравнения
Ас (х) + div А (х) = 0, (21.35)
т. е. функцией
(1/4л) Г | х - z | "1б (х0 - z0)div AdAz == J lt {x - z)A г (z)diz, (21.36)
где lt (x - z) = 6 (x0 - z0)(d/dXi)(4n | x - z |)_1. После этого интегралы по
к (х) в числителе и знаменателе сокращаются. Получившаяся формула
GR (х -у) = -i<i|) (х)ф (y)exp {ie J (// (х - z) - h (у - z))A;(z)d4z}>i.
(21.37)
выражает функцию Грина электрона в кулоновой калибровке после
разложения по степеням е в виде ряда по функциям Грина
\Ф(*)Ф(г/) П Ath(Zb)\
4 k=i /L
в лоренцевой калибровке.
§ 22. Поля Янга - Миллса
Теория поля Янга-Миллса [22] - простейший пример теории с неабелевой
калибровочной группой.
Векторное поле Янга-Миллса, связанное с простой компактной группой
Ли G, удобно описывать матрицами (х) со значениями в алгебре Ли этой
группы:
5..W" 2 (22Л>
а я" 1
189
Здесь t0 - линейно-независимые матрицы в присоединенном представлении
алгебры Ли, нормированные условиями
ixxaxb =-26аЬ; (22.2)
п- число параметров группы; (л:)-числовая функция с векторным
индексом р, и изотопическим а. Как известно, в присоединенном
представлении последний индекс можно использовать и для нумерации
матричных элементов, так что
Фм)аЬ - (хс)аъЬСц - (22.3)
где tabc -¦ структурные константы группы, антисимметричные по
всем трем индексам.
Лагранжиан поля Янга-Миллса
2(*)=l/8tr F^F^, (22.4)
где
/Vv = - dllBv + 8 [В*, Bv],
(22.5)
инвариантен относительно калибровочных преобразований
В" -> QB^Q-1 + (1/е) (22.6)
с матрицей ?2, действующей в присоединенном
представлении груп
пы.
При квантовании в формализме континуального интеграла удоб
ны аналоги функционалов F [А], используемых в § 21 для квантовой
электродинамики. Здесь они имеют вид:
Fi [В] = п б (<V в" (х)) (*));
х ха
Fi [Л] = П 6 (div в (*)) = П П s (div b" (*))'¦
F3 [Л] = exp ((i/4d,) ^ tr (д^ В"(x))2 dA x'j =
= exp ((-i/2dt) j 2 (ди К (x)f d4 *)
(22.7)
Функционалы Лхи B2 выделяют среди всех полей поля, удовлетворяющие
условиям:
fL [В] = ддЛц = 0 для F±; fR [В] = div В = О для В2. (22.8)
Каждое из этих уравнений матричное и представляет собой на самом деле п
дополнительных условий (по числу параметров группы G).
Множитель Ф, соответствующий функционалу Fu обозначим Ах,. В
континуальном интеграле этот множитель стоит перед б- * функционалом от
дйВй, и потому достаточно знать его значение толь
190
ко для поперечных полей (дцВц = 0). В этом случае весь вклад в интеграл
bl1 [В] = f П 6 (дХ (*)) (22.9)
) Q
X
вносит окрестность единичного элемента, в которой можно сделать
замену
Q (х) = 1 + ей (х), (22.10)
где и (х) - элемент алгебры Ли, и оставить в только линейные
по и члены
5(1Вц = 5ц (Вц + е [и, Вц]+5ц") = ?"-е[Вц, д^и\ = Аи, (22.11)
где П = А0-оператор Даламбера. Вместо матриц и (х) введем столбец
"(*) = S таиа(х), (22.12)
а - 1
на который оператор А действует по правилу (Atl)a - ([ \U 8[Вц, 5цН])а = (Z]6ac (r) (Л|х)ас5ц)ие
Интеграл (22.9) можно запйсать в виде
Al1 [В] = j П Fl5((^")a)d"e- (22.14)
Формально Ах, [В] есть определитель оператора Л. Выделив три-
виальный (бесконечный) множитель det ?, можно затем разложить логарифм
Ах. [В] в ряд по г:
In AL [В] = In (det A/det А0) = Sp In (1 - е Щ-1 Вц дц) =
о° "
= - 2 (в"/") f d* *i- di xn tr [Вц (*i)... Biln (xn)] X
X d^Dix!-x2)... dilnD(xn-x1). (22.15)
Здесь D (x) - фейнмановская функция Грина оператора Даламбера
(19.17) . Символ Sp в (22.15) и далее означает след в операторном смысле
в отличие от tr -• следа матрицы.
Соответствующий множитель в кулоновой калибровке обозначим AR.
Аналогичные вычисления приводят к формуле
In AR [В] = Sp In (1 -еД-1 Bt dt) =
= "2 (tnln)\di xi-~ d* xn\r {Bi^Xi)... Вфп)) x
n - 2 J
xdhD(x1-xa)... dinD(xn-Xi)> (22.16)
1?1
где
D (х) = -(2я)-4 J(^/k2)exp (i (kx)) = - 6 (х0)(4п| х | )~\ (22.17)
Индексы ilt ..., in в (22.16) пробегают значения 1, 2, 3. Множитель Ф3 [В]
дается формулой
Фз-1 IB] = J ехр f(i/4d,) |Ь(д^(х))Ч1х} YldQ (х). (22.18)
X
Для интеграла в правой части (22.18) не удается получить замкнутое
выражение, аналогичное формулам (22.15), (22.16), представляющим
множители AL, Ar В виде определителей. Это обстоятельство, как показано
ниже, не мешает и в том случае развить простую схему теории возмущений.
Построим сначала теорию возмущений в лоренцевой калибровке. Она
возникает при разложении в ряд по г функционала
Al [В] ехр (iS (В]) = ехр (iS + In AL [В]). (22.19)
Выражение In Al удобно интерпретировать как добавку к действию S. Член
