Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
вычислении ее элементов по теории возмущений.
Элемент 5-матрицы, описывающий превращение т входящих частиц в (п
- т) выходящих, выражается через преобразование Фурье (рь ...рп)
функции Грина в кулоновой калибровке:
(bl1 (x1)...bll(x"))R=
ехр (iS) Д [В] bai (лд)... b°n (хп) П 6 (div В (х)) dB (х)
" *" (22.53)
Г ехр (iS) До [В] П б (div В (х)) dB (х)
J X
формулой
(Pi Рп) =
р% -*¦0 \k- 1
= lim ( П ZR42 uh{eh)ihih) Gh-'.'- Pn)t (22.54)
где
Ыи = bi} - (pk)i(Pk)M (22.55)
есть оператор (поперечной) поляризации, а множители uk равны
р%в(р1)\2р%1г1/2№)-а,а для входящих частиц ир!0(-р\) |2pg|-i/2x X
(2я)_3/2 для выходящих. Наконец, ZR есть вычет при ра->-0 полной
одночастичной функции Грина в кулоновой калибровке в предположении,
что при р2-"- 0 функция Грина имеет вид
rif = [Z*60b/(p2 + Ю)](6" - PiPjlp2) (22.56)
[конечно, с точностью до инфракрасных особенностей).
Выражения для элементов 5-матрицы в кулоновой калибровке не
являются явно релятивистски-инвариантными. Преобразуем их, перейдя к
релятивистской лоренцевой калибровке.
198
Вставим в континуальные интегралы в числителе и знаменателе
множитель
AL[fi] |П6((дХМй (*). (22-57)
л:
равный единице. Сделаем затем сдвиг Ва->В, В->ВЙ~1. Получится интеграл
по калибровочной группе
j(хд)?:... (В*-1 (хп))>п П 6 (div вя-1) dQ (X), (22.58)
ЛГ
из которого можно вынести произведение (BQ 1 (лу))?,1 ... ... (BQ-1 (хп))а.п.
Оставшийся интеграл по Q сокращается с Дк [В].
1П
Выражение (22.53) для функции Грина принимает вид
(' exp (iS) [В] (В(r)'1 (*,))?¦ ... (В(r)"1 (*"))> П б (д^ Bp) dB
n-JL . (22.59)
Jexp (iS) [В] П б Bp'j dB
X
В (22.59) матрица Q-1 выбирается из условия трехмерной попе- речности
поля B"_1 (div Вя_1 = 0). При разложении Ва 1 по степеням е возникает ряд
В(r)'1 (х) = Ви - (е/2)[Д_1div В, В + Btr]tr + ... (22.60)
Здесь приведены два первых члена разложения, а индекс tr означает
трехмерно-поперечную часть соответствующего вектора. Интеграл (22.59)
можно вычислять по теории возмущений, если предварительно разложить
функции BQ_1 в ряды (22.60), сопоставив каждому члену разложения,
зависящему от произведения т полей В, вершину с т выходящими из нее
линиями.
Таким образом, переход к лоренцевой калибровке для функций Грина
оказывается достаточно сложным. Однако при построении 5-матрицы
достаточно знать функции Грина только на массовой оболочке (все р%-+ 0).
При этом множители uh исчезают, а переход к лоренцевой калибровке
сводится к вставкам во внешние концы:
Вклад в эту вставку (обозначим его а) дают все поддиаграммы, на-
чинающиеся с вершины, порожденной разложением (22.60), и закан-
чивающиеся вершиной, соединенной с остальной частью диаграммы только
одной линией. Именно в диаграммах указанной структуры обращение в нуль
множителей uh компенсируется полюсами одночастичных функций Gl в
лоренцевой калибровке (с вычетами ZL). Вклад всех остальных диаграмм
исчезает при выходе на массовую оболочку, а функция Грина (22.59) в
кулоновой калибровке отличается от соответствующей функции в
лоренцевой калибровке множителем оп. Из сравнения одночастичных
функций (первое из диаграммных равенств (22.61)) следует, что а = (Zr/Zl)1/2,
т. е. выражается через отношение вычетов. В результате оказывается, что на
массовой оболочке можно перейти к функциям Грина в лоренцевой
калибровке и ZR заменить на Zl, тем самым записав S-матричный элемент в
явно лоренц-инвариантном виде.
В заключение этого параграфа рассмотрим поправки второго порядка
теории возмущений к функции Грина. Они представляют интерес потому,
что указывают на ситуацию, противоположную известной ситуации нуль-
заряда в квантовой электродинамике [1, 2].
Функция Грина фотона в поперечной калибровке при к2 > т2 (т -
масса электрона) имеет вид
Я?" = (k2 + Ю)-1 (k28llv -V- Mv)(?2 + Ю - Р)-1 ~
~ {к? + Ю)-2 (/г26ЦЧ1-Vfev) (1 ~ (е2/12л2)1п (-к21т2))~\ (22.62)
если в качестве собственно энергетической части ограничиться однопетлевой
диаграммой второго порядка, взяв ее асимптотику при к,2 > т2.
Приближение (22.62) имеет нефизический ("призрачный") полюс при
(е2/12л2)In (-k2!m2) 1. Существование такого полюса
в точной функции Грина фотона привело бы к серьезным противоречиям с
рядом общих положений теории.
Для поля Янга-Миллса формула для функции Грина при больших к2
имеет вид
Gfv = 6аЬ (к2 + i0)~2(k2bllv - kukv)(l + (11е2/12л2)1п (-к2/М2))~\
(22.63)
где М2 - перенормировочная константа. В этой формуле перед ло-
гарифмическим членом в знаменателе стоит знак "4-", и трудности с
нефизическим полюсом и нуль-зарядом не возникают. Этот факт
рассматривался в работах [24, 25]. Позднее было показано, что ситуация не
меняется и при учете высших диаграмм теории возмущений.
200
Формулу (22.63) просто доказать в "формализме первого порядка", где
необходимо вычислить следующие диаграммы:
ГаЬ
JIV
+
v / ч
х
¦,ab
ab
ЕМУ,рв
"
(22.64)
В этих диаграммах фигурируют внутренние линии трех типов для поля
