Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коноплева Н.П. -> "Калибровочные поля" -> 89

Калибровочные поля - Коноплева Н.П.

Коноплева Н.П., Попов В.Н. Калибровочные поля — Москва, 1972. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): kalibrovochniepolya1972.pdf
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 105 >> Следующая

(22.35)
и интегрировать по ВFuv как по независимым переменным. Термин
"формализм первого порядка" означает, что знак производной входит в
лагранжиан (22.35) в степени не выше первой.
Используя лоренцеву калибровку, получим континуальный интеграл
вида
J exp (iS [В, F])Al [В] П б (d^BJdBdF, (22.36)
где выражение
dB (х) dF (,)=ПП dbl (*) П (*).
(22.37)
a fx
\x < v
так же как и В (х), калибровочно-инвариантно.
Если под знаком интеграла (22.36) провести разложение функционала
Ах. [В]ехр (iS[B, F]) вряд по е, то получим новый вариант диаграммной
теории возмущений с тремя линиями, соответствующими функциям <ДВ>,
<BF>, <FF>, и одной вершиной, описывающей трехлинейное взаимодействие
&FBB. Элементы диаграммной техники имеют вид:
ju.a р vb jivap pb juva p p&b '
$(P)
,PzPb
P1Mya
vabc
'jav
(22.38)
Psvc
195


(22.39)
где поле В изображено одинарной линией, поле F - двойной. Вы-
ражения, соответствующие элементам (22.38), даются формулами
= $аь(-Г2 ^nv Pv) (Р2 + iO)-2;
G р - i&аь (Pv -рр Svp) (р2 + iO)-1;
tjjW, ро = ^ob (^РР ^va-6vp - (р2 + Ю)-1 X
X (бцр Pv Pa + &VCT Рр Рр ^рст pv Рр ^vp Рр Ро));
_ о/
Г pv - Ь1аЪс'
Линии и вершины, описывающие распространение фиктивных скалярных
частиц и их взаимодействие с векторными, остаются такими же, как и в
формализме второго порядка, так как множитель AL, зависящий только от В,
но не от F, остается тем же самым.
Формализм первого порядка удобен для перехода к каноническому
квантованию. Рассмотрим такой переход, исходя из интеграла по Вр в
кулоновой калибровке с источниками, являющимися производящим
функционалом для функций Грина:
J ехр {iS {В, f] + i J (T]pa6pa+ l/2r!pVjpva)d^}AR [в]Пв(<Цу В )dBdF
Z[r]] = ?
J exp (iS [5, F]) AR П 6 (div B) dBdF
(22.40)
Как и в электродинамике, возьмем в качестве динамических переменных
поперечные в трехмерном смысле составляющие полей Bit Foi(i = 1,2, 3).
Будем считать, что источники стоят при выбранных динамических
переменных, т. е. удовлетворяются условия
По0 = r\iha = dftoia = dir\ia = 0. (22.41)
В трехмерных обозначениях лагранжиан (22.35) принимает вид L (х) = tr
{-(1/8)FihFih + (1/4)FoiFoi + (1/4) Fih(dhBt - dtBh + + e[B" Bk]-{1/2)
F0id0Bi -(1/2)B0 (5гГог - e [B" Foi])). (22.42)
Отсутствие источников при B0, Fik позволяет проинтегрировать в (22.38)
по этим переменным, что сводится к появлению 8-функционала
П б (diFoi - е [Ви Foi\) (22.43)
X
и к замене Fik на
Hih я dhBt - d}Bh + 8 [Ви Bk] (22.44)
в интеграле по оставЩимся переменным Ви Foi. Вставим в интеграл (22.40)
множитель |
|П б (Ас + diFoi)dc(х)), (22.45)
Л
196


не зависящий на самом деле от Foi, и сделаем затем сдвиг Foi -*¦ Foi - di с.
При этом функционал П б (Д с + diFoi) превра-
X
щается в П б (diFoi), а П б (dtFoi - е [Bit Г0г]) - в выражение
П б (Ас-д^ог - s [Bh d;c] + е [Bit Foi]), равное Пб(Дс-еХ
X [В4, did + е lBt, Foi]), так как diFoi = 0.
Пусть c0 (х) - решение уравнения
Ad- 8 [Ви дьс} = -е [В" Foi], (22.46)
выражающееся через зависящую от В функцию Грина:
с0 (Х) = -ejH (х, у; B)[Bi (у), Foi (y)]d3y. (22.47)
После сдвига сс + с0 возникает функционал П б (Ас-е[Б;, djc]),
л:
и функцию с (х) можно положить равной нулю везде, кроме аргумента этого
б-функционала. Интеграл
f П б (Ас - е[Вг, dtc])dc (х) (22.48)
X
сокращается с множителем АД[В]. В итоге функционал (22,40) приводится к
виду
Z [ri] =
J exp {iS [Bi, r0i] + i J(rj" bf + f%t) d* x\ П 5 (dt B{) b (dt Foi) dBdF f exp {iS [Вг,
Г0г]} П 6 (dt Bi) 6 (dt Foi) dBdF
(22.49)
где
S [Bh Foi] = j dx0 (JfaoidQbaid?x - H); , (22.50)
Я = j d3 jc (V4 h% h% + Va fit fit + V2 d( c% di cf). (22.51)
В этих формулах S [?г, Foi] - действие, соответствующее гамильтониану
Я, где поперечные поля в bi, foi имеют смысл кано- нически-сопряженных
координат и импульсов.
Как показано в § 19 на примере скалярного поля, формализм кон-
тинуального интеграла по канонически-сопряженным координатам и
импульсам эквивалентен каноническому квантованию. В применении к
системе с гамильтонианом (22.51) каноническое квантование сводится к
замене функций bf, foi, через которые выражаются hfk, с", операторами bf
(х), /о/ (у) с перестановочными соотношениями
I bf (х), foj (у)] = i6eb6*J (х - у) S3
= (i6ab/(2n)3) Jd3k exp (i (k, x - у))(ди - kikjlk2). • (22.52)
197


Гамильтониан (22.51) становится самосопряженным и положительно
определенным оператором энергии. Такое квантование поля Янга-Миллса
было предложено Швингером [23]. Таким образом, формализм
континуального интеграла приводит к каноническому квантованию
Швингера. Подчеркнем, что наличие множителя Лд[?] в исходном интеграле
(22.40) было существенно для приведения его к явно гамильтонову виду.
Рассмотрим построение 5-матрицы для поля Янга-Миллса. Естественно
исходить из континуального интеграла в кулоновой калибровке. Именно в
этой калибровке интеграл приводится к интегралу по каноническим
переменным. Унитарность 5-матрицы здесь очевидна, во всяком случае при
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 105 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed