Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
интегралу (17.21), в котором интегрирование ведется по траекториям в
физическом фазовом пространстве Г*. С этой целью перейдем к описанным
в § 16 координатам qa, q*, ра, р*. При этом интеграл (18.1) превращается в
интеграл с другой мерой:
d\i = {2n)m-n (\o.i\\dqaldqb\\ 6 (ра) 6 (сра)П dqi dpjt (18.3)
а / = 1
которую можно переписать еще так:
п-т
П b{pa)b(qa-qa{.cl*,p))dqadpa П dq*i dp)/2n. (18.4)
a j = 1
Интегрирование по qa и ра снимается 6-функциями. В результате интеграл
принимает вид
jjexp ji j^p}q4-H*{q*, p*)j ax Jfl П dq*l dp) !2n, (18.5)
совпадающий с (17.21). Поэтому можно считать формулы (18.1), (18.2)
доказанными.
Заметим, что интеграл (18.1) можно переписать в виде
(exp ji J Рг Р1-И-П det||{xa, ць}\\{2п)т~п х I t0 V i
a i j T
x n 6 (Xе) П dql dPi П ШКь/2п. (18.6)
a i= 1 b
Символ ПАтДи6/2я показывает, что в допредельном выражении фи-
гурируют интегралы по переменным Кь (тг) (тг - точки деления интервала
[i0, t]) вида
§expi -~i'21'ka{T;i)(Qa{q{Ti)\p{rl)kT\Y\bT:d'kbl2n, (18.7)
К if а ) it b
167
Выражение (18.7) равно произведению 6-функций
Пб [сра(<7(тг); /?(т,))]. (18.8)
I, а
Это означает, что в интеграле (18.6) можно провести интегрирование по и
вернуться к интегралу (18.1).
Покажем теперь, что континуальный интеграл (18.1) не зависит от
выбора дополнительных условий. Пусть %а - бесконечно малое изменение
этих условий. С точностью до линейной комбинации связей можно
представить 8%а как результат инфинитезимального канонического
преобразования в Г, генератор которого есть линейная комбинация связей.
Действительно, 8%а можно представить в виде
б)Са = {Ф, Ха}+2^аьФ6, (18.9)
Ь
где
Ф-1>аФа. (18.10)
а
а в качестве ha можно взять решение системы уравнений 2{Х". На-
(18.11)
Ь
В силу условия (16.27) эта система имеет однозначное решение. При
описанном каноническом преобразовании связи заменяются своими
линейными комбинациями
6Ф" = 2Л2фь, (18.12)
ь
где Аь = {hb, ф") - 2 hcclc. Величины, участвующие в интеграле
С
(18.1) и мере (18.2), изменяются следующим образом:
% а-+Ха+$Ха> Ч>° ф" + 2 А% фЬ1 Н-+Н\
Ь
П 6 (ф°)-> П б (ф° + 6ф") = (1 + 2^а) П 6 (ф");
det || {Ха. Ф6} II -* det || (ха + ^Хв. Ф6 + V} 1 =
= det|{*" + 6x"<P>}idet| a"+V).
I Зф
= det || {Ха -Ь'бХа. Ф6} II (1 + 2 Аа) •
В результате канонического преобразования мера интегрирова
ния отличается от меры (18.2) лишь заменой %а-> %а + 6Ха- Это и
16В
доказывает независимость интеграла (18.1)Ът выбора допоЛнитель- ных
условий.
Полученные континуальные интегралы для конечномерных механических
систем обобщим далее на теорию поля, описывающую системы с
бесконечным числом степеней свободы.
§ 19. Континуальный интеграл и теория возмущений в
квантовой теории поля
Теорию поля можно рассматривать как теорию механической системы с
бесконечным числом степеней свободы. При этом калибровочные поля
оказываются бесконечномерными аналогами механических систем со
связями.
Континуальный интеграл в теории поля можно строить различными
способами. Во-первых, можно исходить из действия поля, записанного в
гамильтоновой форме, и строить континуальный интеграл по фазовому
пространству системы с бесконечным числом степеней свободы. Во-вторых,
можно исходить из действия, незаписанного в явно гамильтоновой форме, и
рассматривать континуальный интеграл по всем полям, что позволяет
построить явно релятивистскую теорию. При гамильтоновом подходе
релятивистская инвариантность часто не очевидна и требует специального
доказательства.
Объяснить и обосновать метод интегрирования по всем полям можно в
том случае, когда удается преобразовать получившиеся континуальные
интегралы к интегралам гамильтонова вида.
Рассмотрим определение и правила работы с континуальными ин-
тегралами на примере теории вещественного скалярного поля с действием
(19Л)
Здесь ф (х)-зависящие от точки х= (х°, х1, х2, х3) псевдоевклидова
пространства V4 полевые функции; - диагональный тензор Минковского [1,
-1, -1, -1]. Действие - сумма квадратичного по полю ф функционала S0,
дающего действие свободного поля и интеграла от-(?/3!)ф3, описывающего
самодействие с константой связи g. Множитель 1/3! перед ^ф3 выбран для
удобства.
При определении континуального интеграла по всем полям часто
используется конечномерная аппроксимация.
Возьмем в пространстве Vi большой кубический объем V, разделенный
на N4 равных маленьких кубиков vt (i = 1, ..., М4). Аппроксимируем
функцию ф (х) в объеме V функцией, постоянной в объемах vt, а первые
производные dqi/dx^ - конечными разностями
[Ф (xv + 8цVA/) - Ф (xv)]/A/, (19.2)
где АI-длина ребра кубика vt. Аппроксимирующая кусочно-постоянная
функция ф (х) определяется своими значениями в объемах v?.
169
Рассмотрим конечномерный интеграл
N*
jexp(iS) Y\ n(x)dy(x) (19.3)
i=i
no значениям функции <p (л:) в объемах vt. Здесь S - интеграл действия для
аппроксимирующей функции ф (х) с аппроксимацией (19.2) для ее первых
