Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
Лагранжиан спинорной квантовой электродинамики
L (х) = ф (x)(iy|X (5ц - ieAtl (х)) - т)ф (х) -
- (1/4)(ЭвЛ v (х) -<Мц (*))*, (21.19)
где уц - матрицы Дирака, содержит кроме электромагнитного поля
Ац (х) четырехкомпонентные спиноры ф (х), ф (х), описывающие фер-
миевское электрон-позитронное поле. Трехлинейный член ефуцфАц
описывает взаимодействие электромагнитного поля с электронно-
позитронным. Лагранжиан (21.19) инвариантен относительно абе-
левой группы калибровочных преобразований:
Лц(х)->Лц (х)+д,Д(х);
Ф (х) -> exp (i ек (х)) ф (х); Ф (х) ф (х) ехр (- \е% (х)).
В схеме континуального интегрирования следует считать компо-
ненты спиноров фа (х), фа (х) антикоммутирующими между собой
элементами грассмановой алгебры и интегрировать функционал
exp (iS) по мере
П (п<глдх)п d^a Мd^a (*)
х \ ji а
Наметим построение теории возмущений по параметру е - ко-
эффициенту при трехлинейном члене взаимодействия электромаг-
нитного поля с электронно-позитронным. Функционалы Ри Рг> Р з не
зависят от параметра е, так что дело сводится к почленному инте-
грированию ряда
00 tl
exp (iMS) = (21-22)
n= О П
== J~[ dAd^i dty.
(21.21)
(21.20)
19$
Вид функций Грина зависит от выбора функционала F Ы]. Найдем
производящие функционалы для невозмущенных функций, соот-
ветствующих нулевому значению параметра е. При выборе F =/71 не-
обходимо вычислить интеграл
| expi(S0+j(rpl) + ij3ti + 4n^n)d4A:)n б (д Л ) dAdtydty
Zol ri!= - (21.23)
J ехр (iS0) П б dAdydxp
где т], т), т]ц - источники полей ф, ф, А Интегрирование в (21.23) ведется по
полям А д (х), удовлетворяющим условию Лоренца:
д11А11(х) = 0. (21.24)
Поэтому интегралы с функционалом F1 [А] назовем интегралами в
лоренцевой калибровке. Вычисляется функционал (21.23) стандартным
приемом - сдвигом:
ф-^ф + ф0; ф->ф +ф0; (21.25)
уничтожающим линейные по ф, ф, члены в показателе подынтегральной
экспоненты числителя (21.23). Чтобы при сдвиге (21.25) не изменился б-
функционал ^[Л], достаточно выбрать поле A(t°1 (х) поперечным, т. е.
удовлетворяющим условию (21.24). Выражение для функционала Z0 Гт]]
получается равным
ехр [-1 Гт) (x)G (х - у)г] {у)й*хс1*у -
- (1/2) j г]й (x)D\lv (х - у)ц v (y)d\xcFy], (21.26)
где
G (х-у) = (2л)~4 j' d4 р ехр (ip(x-у)) (р + т)/(р2-т2 + Ю); |
F>% (х-г/)=(2л)-4^4^ ехр (ik(x-у)){-&26MV +kli,kv)l(k2 + iO)2. j
(21.27)
Здесь (p, x у) - Рр (x - г/)^; р = Yu/V
Необходимость замены k2 k2 + iO в подынтегральных выражениях для
функций Грина была объяснена в § 19. Из формулы
(21.26) следует справедливость теоремы Вика, что приводит к диа-
граммной технике, в которой каждой электронной, соответственно
фотонной, линии сопоставляется функция G, соответственно D^v, каждой
вершине - константа связи е. -
Аналогичные схемы теории возмущений, различающиеся лишь видом
фотонной функции Грина, возникают при использовании функционалов F2 И
F 3. Интегралы с функционалом F2 назовем интегра-
187
Айми 6 кулоновой калибровке. Невозмущенная функция Грина в ку-
лоновой калибровке дается формулами
Dtv {х-у) = (2л)4 j d4 k exp (i (k, x-y)) D% (k)\
Dio (*) = k-a;D?,(fc) = 0; Dl,(k)=(k* + iO)-1(6lJ-kt k,lk2).
Невозмущенная функция DyV для функционала F 3 имеет вид
(/j2 _ i0)-2(_/j26tiv + (i _ d^ky). (21.29)
Эта формула особенно проста при dt = 1. Соответствующую функцию Грина
S^v (-№ - Ю)-1 называют обычно функцией в фейнма- новской
калибровке.
Таким образом, получены три схемы теории возмущений, разли-
чающиеся видом фотонных функций Грина. Эти схемы хорошо известны и
ведут к одним и тем же результатам для физических величин.
Метод континуального интегрирования удобен и при выводе точных
соотношений, являющихся следствием калибровочной инвариантности. Для
иллюстрации выведем тождество Уорда, а также связь функций Грина в
разных калибровках.
Рассмотрим электронную функцию Грина в лоренцевой калибровке:
GL {х-у) == - i <ф (х) ф (г/)>?. =
Г exp (iS) ф (*) ф((/) П б (д АЛ <Шфс(ф
== -i ^ • (21.30)
J exp (iS) ГГ б (д^ А^) dAdipdty
Поворот спинорных полей ф (х) ->- exp {iее (х)ф (х)}, ф (х) ->¦ ф (х) х хехр
{-\ес (х)} в интеграле числителя (21.30) ведет к появлению в
подынтегральном выражении множителя
exp i е{с (х) - с (у) + J с (z)dlljll {z)d*z}, (21.31)
где /у, = фууф. Дифференцируя по с (z) и положив затем с = 0, получаем
формулу
GL (х - у)(8 (х - z) - б (у - г)) = Дф (х)ф {у)д" /V (z) >L, (21.32)
из которой после перехода к импульсному представлению следует тождество
Уорда [25]:
G-1 (р) - G-1 (q) = (р - ?)уГу (р, q), (21.33)
связывающее электронную функцию Грина G (р) и неприводимую
вершинную часть ГД (р, q). Видно, что это тождество справедливо при
любой калибровке фотонной функции, так как при его выводе Замена
переменных в континуальном интеграле затрагивала только спинорные поля.
188
•(21.28)
Проследим теперь переход от кулоновой калибровки к лоренце- вой на
примере одноэлектронной функции:
GR (*-*/) = -КФ(*Ж1/)>к =
