Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коноплева Н.П. -> "Калибровочные поля" -> 80

Калибровочные поля - Коноплева Н.П.

Коноплева Н.П., Попов В.Н. Калибровочные поля — Москва, 1972. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): kalibrovochniepolya1972.pdf
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 105 >> Следующая

производных; п (х) - не зависящий от ср (х) множитель, выбранный так,
чтобы при У-"- оо, vt -*¦ 0 интеграл (19.3) имел асимптотический вид ехр
(сУ) с не зависящей от У константой с. Обычно п (х) = а (А/)" с
постоянными (не зависящими от х) константами а и а.
Конечномерные интегралы типа (19.3) фигурируют в допредельных
выражениях при определении встречающихся в теории поля континуальных
интегралов. Запишем функции Грина в виде континуальных интегралов.
Функции Грина - средние от произведения двух и более полевых
функций с весом exp (iS). Например, двухточечная функция определяется
формулой
G(x, у) = - i <ф (х) ф ((/)) =
ДМ
f exp (iS) ср (х) ф (у) П п (•*) ^Ф
(¦*)
J /= 1
= -i lim
V -*¦ 00
V • О
1 | exp (iS) n (x) dq>
(x)
(19.4)
Стоящий в правой части этой формулы предел обозначим |ехр 05)ф (х)ф
(г/)Пп (x)dcp (x)/J exp (iS)n" (x)d<p (x). (19.5)
Функции Грина считают известными, если известен производящий
функционал
Z [т]] =|ехр (iS + ijr| (х)ф (x)dix)Un (x)d<p (x)/jexp (iS) П" (х)сйр(х).
X X
(19.6)
В частности, двухточечная функция Грина дается формулой
(19'7)
В теории свободного поля функционал Z [т)] нетрудно вычислить. Для
этого при интегрировании поф в числителе формулы (19.6) сделаем сдвиг:
Ф (х) -> ф (х) + Фо (*), (19.8)
170


подобрав ф0 (х) из условия сокращения в показателе экспоненты членов,
линейных по ф. Это приводит к уравнению для ф0 (х):
-(П + т2)ф0 (х) = -т] (х). (19.9)
Решение этого уравнения выражается через функцию Грина D (х, у)
оператора (-? -т2) формулой
Фо (*) = - ID (х, у)ц (y)dly. (19.10)
Функция Грина - это решение уравнения
(- ? * - m2)D (лг, у) = б (х - у) (19.11)
сб-функцией в правой части.
После сдвига (19.8) интеграл в числителе правой части (19.6) сводится к
произведению интеграла в знаменателе на множитель
exp {(-i/2) J г] (x)D (х, у)ц (у)сГх<Гу), (19.12)
который и дает значение производящего функционала в случае свободного
поля. Двухточечная функция в теории свободного поля [обозначим ее G0 (х,
у)], вычисленная по формуле (19.7), есть функция Грина оператора (- ? -
т.2):
G0(x, у) = D (х, у). (19.13)
Эта функция определена уравнением (19.11) не однозначно, а лишь с
точностью до аддитивной добавки - решения однородного уравнения (- ?
-m2)f = 0.
Существует, однако, наиболее естественный выбор функции D (х, у), в
пользу которого говорят многие соображения. Приведем одно из них.
Выражение exp (iS) есть осциллирующий функционал ф (х). Рассмотрим
вместо него функционал exp (iS|5), где Se - зависящее от неотрицательного
параметра комплексное действие
SE = (1/2) J ф (-? - т2 + is)ф<Дх, (19.14)
подобранное так, чтобы функционал exp (iSe) был по абсолютной величине
меньше единицы и исчезал при J\p2d4x->- оо.
Результаты получаются однозначными, если использовать при
определении функций Грина "исправленное" действие Se, а затем в ответах
перейти к пределу s -"- +0. В частности, D (х, у) становится пределом
функции Грина оператора (-?-m2+is). Последняя определена однозначно.
Она зависит от разности (х-у) и дается формулой
D (х - у) = (2я)~4| exp (ik (х - y))/(k2 - т2 + is). (19.15)
Предел этой функции при s->- +0 называется причинной или фейн-
мановской функцией Грина и обозначается Dp (х - у).
Таким образом, для среднего от произведения двух полей ф (х) и ф (у) в
теории свободного поля имеем
<Ф (*)ф (у)) = ЮР (х - у). (19.16)
171


Среднее от произведения любого нечетного числа функций <р равно,
очевидно, нулю. Для среднего от четного числа функций нетрудно вывести
утверждение, известное под названием теоремы Вика.
Среднее от произведения четного числа функций ср (х^.-.ф (х2п) равно
сумме произведений всевозможных попарных средних. Например,
<Ф (*i)<P (*2)ф(*з)ф (*4)> = <Ф (*0ф (*а)> <ф (х3)ф (х4)> +
+ <Ф ЫФ (Х3))<Ф (х2)ф (Х4)> + <ф (л:1)ф (х4)>(ф (х2)ф (х3)>. (19.17)
Доказательство для среднего от 2п функций получим, продиффе-
ренцировав 2п раз функционал (19.12) и положив г) = 0.
Теорема Вика используется при построении формальной теории
возмущений и связанной с ней.диаграммной техники. Построим теорию
возмущений для скалярного поля с лагранжианом (19.1). Представим
функционал exp (iS) в виде
exp (iS) = exp (iS0)exp (iSi), (19.18)
где S0 - действие свободного поля, а член
описывает самодействие. Теория возмущений основана на разложении exp
(iSx) под знаком континуального интеграла в ряд по g:
и последующем почленном интегрировании получающихся рядов. Например,
для двухточечной функции Грина получается представление в виде частного
двух рядов:
Если разделить числитель и знаменатель в правой части (19.21) на интеграл
Si = -(gV3!) J ф3 (х)<1*х
(19.19)
exp(iSx)= V ( - - [q>3(x1)...<p*(xn)dix1...dixn
"""о "W J
(19.20)
G(x, у) =


I ф3 (-^l) • • • ф3 (хп) d* xt.. . d4 хп п п (дг) йф (х)
(19.21)
| ф3 (хО • ¦ • Ф3 (хп) d4 хг... d* хп П п (х) йц> (х)
j exp (150)Пл(х)йф (х),
(19.22)


то задача сводится к вычислению средних типа
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 105 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed