Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
п-то порядка разложения InAL в ряд по е приведет к появлению в
диаграммах вершины с п выходящими линиями. Явное выражение для этого
члена, следующее из (22.15), подсказывает интерпретацию вершины как
кольца с п выходящими линиями, по которому распространяется фиктивная
скалярная частица, взаимодействующая с векторным полем по закону ~etr
(фВцд^ф). Этому утверждению можно придать точный смысл, если записать
определитель в виде интеграла по антикоммутирующим переменным г\а, т)а:
det (? - еВцдц) = J ехр {i \Ь (В^, rj, т|)^4х}ПШт]а (x)dr\0 (х), (22.20)
X
где
L (Вц, т|, т]) - V2 tr т] (? -еВц дД т] =
= ?Dria-eta6c^^dpiTib. (22.21)
Формула (22.20) является бесконечномерным аналогом (19.50). Она
показывает, что нашу систему можно рассматривать как систему бозе-полей
(х), взаимодействующих друг с другом и со скалярными ферми-полями т)°
(х), т)а (х).
Построение теории возмущений и диаграммной техники во многом
аналогично намеченному в § 22 для квантовой электродинамики. Элементы
диаграммной техники в теории Янга-Миллса-линии двух сортов,
соответствующие поперечным векторным и фиктивным скалярным
частицам, а также вершины, описывающие взаимодействие векторных
частиц со скалярными и друг с другом.
192
Будем изображать векторные частицы сплошными, а фиктивные
скалярные частицы - пунктирными линиями. Элементы диаграмм-
вершины и линии вида
р.а р vb GJJLV
(Р1
а р b
?ью~
i
pzvb рфа р3рс
РзРс Р2
vb
/Рш
Pim-
abc
M>VP
P^d
..abed
P3°
abc
(22.22)
Выпишем выражения для изображенных в (22.22) элементов диаграмм в
импульсном представлении:
Gft(p)=-
Gab (р) =
т таЪс
Sab(P*bnv-P"Pv)(Pt +
iO)"2; -Ьаъ(Рг + Ю)-1;
и. vp - ie^abc (рiv бцр-pip^Spv);
abcd _ P2 +
jxv, pa - ь i,
Jr.
^pbc = (ie/2) tabc(p3
a be lcde(f>lip &vo~
P-z)ii-
§vp)l
(22.23)
Чтобы найти вклад данной диаграммы, необходимо произведение
выражений, соответствующих всем ее элементам, проинтегрировать по
независимым 4-импульсам, просуммировать по независимым дискретным
индексам и умножить результат на
г-1 (i/(2jг)4)'-*-1 (-2)s, (22.24)
где v - число вершин диаграммы; I - число ее внутренних линий; s -
число замкнутых циклов фиктивных скалярных частиц; г - порядок группы
симметрии диаграммы. Заметим, что I - v - 1 = с есть число независимых
контуров диаграммы.
Покажем, что в развитой теории возмущений поперечную функцию
Грина Gp* можно без изменения физических результатов заменить функцией
с произвольной продольной частью:
(dip) = -8аЬ (р2 + iO)-V6"v + (di- 1 )Pvpv). (22.25)
Первоначальное доказательство этого факта, данное де Виттом [5], было
громоздким. Приведем здесь доказательство, предложенное Тофтом [10].
Рассмотрим семейство калибровочных условий вида
(х) - с(х) = 0. (22.26)
7 Зак. 1322 193
Среднее от калибровочно-инвариантного функционала X по полям с
калибровочным условием (22.26) записывается в виде
f Х[?] ехр (iS [5]) Дс [5] П б (д В -с) dB
<Х> = ; ^ , (22.27)
J ехр (iS [В)) Дс [5] П 6 (dp В^-с) dB
уде Дс [В] - множитель, соответствующий условию (22.26). Числитель и
знаменатель в правой части (22.27) не зависят от с. Используя это
обстоятельство, перепишем выражение (22.27) в виде
j ехр {(i/4dj) J trc2 й*х) dc [ X [SJexpOS [5]) Дс[?] П б (Э^ - с) dB
<ху : 2 ,
J ехр {(i/Чф) J tr с2 di xj dc J exp (iS [?]) Дс [В] П 6 (c^ B^ - cj dB
(22.28)
т. e. как частное континуальных интегралов по переменной с (х) = - 2 ха°а
(*)• Проинтегрировав по с, получим для среднего <Х> вы-
а
ражение
J X [5] Д [В] ехр (i (S IB] + (i/4 d{) J tr (d BJ* d* x)} П dB <X> •
J Д (?] exp {i (S [B] + (i U di) f tr (^ В^ d*x))TI dB
(22.29)
Множитель
Д[В] = Дс[В]|с=ауЯу (22.30)
определяется равенством
Ас1 [В] = |П6 (d^ - cjdQ (x). (22.31)
X
Вычисление множителя Дс [В] аналогично вычислению AL (22.9). Весь
вклад в интеграл (22.31) вносит окрестность единичного элемента, в
которой можно сделать замену (22.10) и оставить в (dy.fiу-с) только
линейные по и члены:
dy Bl-c = dy (е [и, By] + dy и) = 2. (22.32)
Оператор А действует на столбец и (х), определенный выше формулой
(22.12), по правилу
(Аи)а = ? иа-е/аЬс dy (6* ис); (22.33)
194
оператор А является сопряженным по отношению к А, поэтому оп-
ределители операторов А и А совпадают:
А [5] = det А = det Л = &L [5J. (22.34)
Вычисление <Х> как частного континуальных интегралов (22.29) по
теории возмущений приводит к диаграммной технике с функцией Грина
векторной частицы (22.25). Вклад множителя AL \В] = А [В] по-прежнему
интерпретируется как вклад дополнительных диаграмм, описывающих
взаимодействие векторных частиц с фиктивными скалярными частицами.
Развитая теория возмущений-не единственно возможная. Другая форма
теории возмущений и диаграммной техники возникает в так называемом
формализме первого порядка. Этот формализм получается, если записать
лагранжиан (22.4) в виде
L (х) = -(l/8)tr + (l/4)tr (дуВ" - д^Ву + e Ш", Sv])
