Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
j ехр (iS0) фЗ (Xl)... фЗ (хп) П п (х) dtp (х)
<ср°(х1)...(рЗ(хп)>о^ * • (19.23)
Г ехр (iS0) П п (я) d<p (я)
J X
в знаменателе правой части (19.21) и к вычислению средних
<Ф М<Р (У)Ф3 (^)---Ф3 (*П)>О (19.24)
в числителе.
Здесь нам и понадобится теорема Вика, которая представляет средние
<...)0 в виде суммы всевозможных попарных средних, позволяя вычислить
любой член рядов в (19.21). Фейнман указал на то, что каждому члену
рассматриваемых рядов можно сопоставить рисунок - диаграмму. Теория
возмущений, каждому члену ряда которой сопоставляется диаграмма,
получила название диаграммной техники [18]. В рассматриваемой теории
скалярного поля с само- действием можно прийти к диаграммам следующим
образом.
Сопоставим среднему (19.23) диаграмму в виде п точек (каждая с тремя
отростками), отображающих точки ду, ..., хп в псевдоевкли- довом
пространстве 1/4. Такая диаграмма для случая п = 4 имеет вид
х1
(19.25)
Среднему (19.24) сопоставим диаграмму, получающуюся из соответ-
ствующей диаграммы для среднего (19.23) добавлением двух точек (каждая с
одним отростком), изображающих точки д: и у в Vk. Например, для п - 4
получим
X
(19.26)
Эти диаграммы назовем преддиаграммами в отличие от тех, которые будут
введены далее. ГТреддиаграммы обладают симметрией относительно
перестановки отростков в каждой точке. Поэтому можно говорить о группе
симметрии Gn n-точечной преддиаграммы порядка
Rn = "1(3!)-. (19.27)
Симметрия цреддиаграмм отражает симметрию соответствующих им
средних (19.23), (19.24), не изменяющихся при перестановке аргументов ду,
..., хп и при перестановке под знаком среднего в каждой тройке полевых
функций <р (ду)ф(*г)ф (лу) = ф8 (хг).
,Щ.73
Заметим, что выражение Rn1 {вместе с (-ig)n] фигурирует в рядах
(19.21) как множитель перед средними <...)<,.
Согласно теореме Вика, средние (19.23), (19.24) - суммы произведений
всевозможных попарных средних. Каждому способу образования попарных
средних сопоставим диаграмму, соединив линией каждую пару точек хь х}
преддиаграммы, если среди попарных средних есть среднее <ф (хг)ф (х})>.
Число линий равно числу пар, т.е. уменьшенному вдвое числу усредняемых
полевых функций.
Все диаграммы, возникающие из преддиаграммы (19.25), представлены в
(19.28), а все возникающие из преддиаграммы (19.26)- в (19.29)*:
(c)(c) 6 Ф
(19.28)
а
ее
о ^
-о-
(r)
(19.29)
Выражение, соответствующее диаграмме, получится, если произведение
попарных средних проинтегрировать по хъ ..., хп, умножив результат на(-
ig)n Rn1 и на число способов, которыми данная диаграмма получается из
преддиаграммы. Нетрудно заметить, что указанное число способов равно
отношению Rn/rni d порядка Rn группы симметрии преддиаграммы к порядку
r"id группы симметрии диаграммы, полученной из преддиаграммы
соединением ее вершин линиями. В результате численный множитель перед
интегралом по х1 хп становится равным (-ig)nrn,V
* В (19.28), (19.29) не учтены диаграммы, содержащие поддиаграммы, соединенные
с основной частью одной линией { >• В опера
торном формализме это означает, что взаимодействие написано в виде нормального
произведения (g/31): <р3:.
174
Полученные правила соответствия можно переформулировать
следующим образом. Сопоставим каждой линии, соединяющей точки xh Xj,
функцию Грина Df (*г - х}), отличающуюся от среднего <Ф (л:г)ф (Xj)>0
множителем i, а вершине - константу связи g:
Выражение для диаграммы получится, если произведение выражений,
соответствующих элементам диаграмм - вершинам и линиям,
проинтегрировать по координатам вершин и умножить результат на i 1~п~х
Гп,^, где' / -число линий диаграммы, п - число ее вершин, rn< d -
порядок группы симметрии.
Наличие множителя симметрии rn d не всегда четко отмечается в
литературе. Возможно, это вызвано тем, что в квантовой электродинамике
(единственной теории, в которой для сравнения с экспериментом
необходимо учитывать высшие диаграммы) этот множитель равен единице
для всех диаграмм, кроме вакуумных, которые при описании физических
эффектов можно не рассматривать.
При вычислении вкладов от различных диаграмм в функцию Грина
можно ограничиться связными диаграммами, т. е. такими, в которых можно
пройти из любой вершины диаграммы в любую другую вершину, двигаясь
по линиям диаграммы. При доказательстве учтем, что диаграммы,
соответствующие ряду в знаменателе формулы
(19.25) , дают суммарный вклад вида
где 2D? - сумма вкладов всех связных вакуумных диаграмм (без
внешних линий). Формула (19.31) следует из того, что диаграмма, состоящая
из п1 связных компонент первого сорта, п% связных компонент второго
сорта и т.д., имеет множителем симметрии выражение
где гг-порядок группы симметрии связной компоненты /-го сорта.
Множители ("г!)-1 отражают симметрию диаграммы относительно пе-
рестановок одинаковых компонент и приводят к показательной функции
(19.31). Остается заметить, что сумма вкладов диаграмм в числитель (19.21)
