Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
Уорда [12], калибровочные теории в кварковых моделях, квантование
суперкалибровочных и киральных теорий.
* Далее будем использовать естественную в релятивистской квантовой теории
систему единиц с h = с = 1.
156
§ 16. Механические системы и
фазовое пространство
Квантование классических механических систем при помощи конти-
нуального интеграла является одним из наиболее удобных из известных
методов квантования и применимо к ситуациям, когда общепринятое
каноническое квантование сталкивается с трудностями. Рассмотрим метод
континуального интегрирования сначала в применении к квантованию
механических систем с конечным числом степеней свободы. Это сделает
рассуждения и выводы короче и обозримее. Кроме того, яснее станет их
общий характер. Далее произведем обобщение на теорию поля,
описывающую системы с бесконечным числом степеней свободы.
Механическая система определяется функцией Лагранжа
L(q,q), (16.1)
зависящей от точки q координатного многообразия М и обобщенной
скорости q (q задает точку касательного к многообразию М в точке q
пространства Кд). Пусть п - размерность многообразия М. На таком
многообразии можно ввести обобщенные координаты q1, q2, ..., qn.
Во многих случаях и, в частности, в задаче квантования бывает удобно
перейти от лагранжева формализма к гамильтонову. С этой целью вводят
канонические импульсы ръ ..., рп, определяемые соотношениями
pi = dL/dq', i = 1, ..., п. (16.2)
Переход от скоростей ql к импульсам pt соответствует переходу от
касательного пространства Vq к кокасательному V*q (см., например, книгу
Макки [13]). Многообразием вместе с определенным в каждой его точке q
кокасательным пространством Vq определяет фазовое пространство
механической системы Г. Для нас наиболее интересен случай, когда
соотношения (16.2) неразрешимы относительно q. Так будет, если,
например, определитель
det || d2L/d'q'dqk || (16.3)
тождественно равен нулю. Лагранжиан L (q, q) называется в этом случае
сингулярным. Функции Лагранжа таких интересных полей, как
электромагнитное и поле тяготения, сингулярны в указанном смысле*.
* Точнее говоря, как электромагнитное, так и гравитационное поля являются
бесконечномерными аналогами конечномерной механической системы с тождественно
равным нулю определителем (16.3).
157
Рассмотрим переход от лагранжева формализма к гамильтонову для
сингулярного лагранжиана следующего вида:
1{\Л)= 2 /аШГ-Ф(Ю- (16.4)
а= 1
Обобщенные скорости входят здесь линейно. Всякий несингулярный
лагранжиан приводится к виду (16.4), если удвоить число динамических
переменных. Действительно, нетрудно проверить, что в случае
несингулярного лагранжиана уравнения движения для функции Лагранжа
l(q,v,q,v)= 2) 0LfS № -v'1) + 1 (?" р) (16-5)
/= 1
эквивалентны обычным уравнениям движения для лагранжиана L {q, q).
Для сингулярного лагранжиана переход к виду (16.4) не столь
автоматичен. Дело в том, что уравнения dlldv1 = 0 сводятся к системе
2
-?Lr(qt-v 0 = 0, (16.6)
dv'dv' V
i=i
которая эквивалентна уравнениям ql = v, лишь при отличном от нуля
определителе (16.3), т.е. в случае несингулярного лагранжиана. Можно
показать, однако, что такая эквивалентность имеет место и для сингулярного
лагранжиана. В примерах из теории поля лагранжиан можно с самого начала
записать в форме (16.4).
Приведем уравнения движения для лагранжиана (16.4) к гамильтонову
виду. Начнем с замечания, что как известно из теории дифференциальных
форм первого порядка (см., например, [143), можно найти такую замену
переменных | -> (q, р, z)
q =± (<7\ ..., qn), р = (ръ ..., рп), z = (z\ ..., гГ), 2п + г = N, (16.7) что форма
со = 2/<х^?"> участвующая в лагранжиане (16.4), примет
а
канонический вид со = 2 Pidq1 + dS с точностью до аддитивного
i
слагаемого - полного дифференциала dS, добавка которого не влияет, как
известно, на уравнения движения. Число пар канонических переменных
совпадает с половиной ранга антисимметричной матрицы
йа" = №д& - df"e/dl*). (16.8)
Переменные типа z отсутствуют, если эта матрица обратима. В этом случае
назовем лагранжиан (16.4) регулярным. Он имеет явно гамильтонов вид:
2 Р,?-Н(Д,Р). (16.9)
/= 1
158
В общем случае в переменных q, р, г лагранжиан принимает вид 1= 2
PtQ1-ф(Р- г)- (16.10)
г= 1
Соответствующие лагранжиану (16.10) уравнения движения кро-. ме
канонических уравнений
ql = дФ/дрй pt = -ЗФIdq1 (16.11)
содержат еще уравнения типа
дФ/дга = 0, а = 1 г. (16.12)
В регулярном случае последние уравнения отсутствуют, и зада
ча приведения уравнений движения к гамильтонову виду решается, как
только найдена замена (16.7).
Естественно попытаться использовать уравнения (16.12) для
исключения переменных типа г. Это можно сделать, если
det || Фа6 || ф 0; ФаЬ = д*Ф1дгадгь. 06.13)
В этом случае подстановка найденных значений z° = za (q, р) в уравнения
(16.11) не изменяет их гамильтонова вида, если в качестве гамильтониана
использовать
Н (q, р) = Ф (q, р, z (q, р)). (16.14)
