Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, имеем, например,
дН ! дф , <ЭФ дг
др \ др дг др
(16.15)
г -г (q, р)
и второе слагаемое в скобках правой части исчезает вследствие
(16.12) . Если же условие (16.13) не выполняется, можно при помощи
уравнений (16.12) выразить переменные z через q, р и т параметров 1, где
т<. г, причем г - т совпадает с. рангом матрицы ФаЬ. Обозначим
Ф(<7, р, %) = Ф (q, p,z(q, р, Ц). (16.16)
Матрица д2Ф/д1адкь исчезает тождественно, так как иначе можно было бы
исключить еще несколько переменных типа z из уравнений
(16.12) . Таким образом, параметры к входят в Ф (q, р, г) линейно, и
функция Лагранжа в новых переменных принимает вид
1= 2 Pi4l~H{q, р) - 2 КЧ>"(?, Р). (16.17)
1= 1 а= 1
Переменные ka, а = 1, ..., т естественно назвать множителями Лагранжа, а
стоящие при них коэффициенты ф° (q, р) интерпретировать как связи,
наложенные на динамические переменные. Уравнения связи
Фя (<7, р) = 0, а = 1 т (16.18)
159
позволяют исключить т переменных q, р, выразив их через осталь ные
переменные. При этом лагранжиан (16.17) приводится к виду (16.4), но с
меньшим числом переменных (п вместо N).
Описанный процесс исключения лишних переменных можно повторять
до тех пор, пока лагранжиан не примет гамильтонов вид
(16.9) . Процесс исключения подразумевает явное решение уравнений
связи типа (16.18), что на практике часто оказывается затруднительным.
Поэтому полезно иметь формализм, не требующий явного решения
уравнений связи.
Естественно считать связи, т. е. функции ф° (q, р), независимыми и
неприводимыми в том смысле, что уравнения связи (16.18) определяют в
фазовом пространстве Г поверхность М размерности 2п-т, причем
произвольная функция /, исчезающая на М, является линейной комбинацией
связей
f=1>ca(q, р) ya(q, р) (16.19)
с переменными, вообще говоря, коэффициентами са (q, р).
Рассмотрим специальный, на первый взгляд, случай, когда связи Фа и
гамильтониан Н удовлетворяют дополнительным условиям
{фа. Ф6} = 2 с? Фс; (16.20)
С
{Я, Ф0} = 2 с* Ф*. (16.21)
где СсЬ, Сь - некоторые функции q и р, a {f, g) - скобки Пуассона:
{f, g} = V (Ji- Д. 3LjteV (15.22)
^ \ dpt dql dql dpi J
<= 1
Другими словами, мы считаем, что скобки Пуассона связей друг с другом и с
гамильтонианом исчезают на М. Забегая вперед, укажем, что именно таким
условиям удовлетворяют связи в теории калибровочных полей.
Для выполнения условий (16,20) необходимо, чтобы т не превосходило
п.
Уравнения движения для лагранжиана (16.17) состоят из канонических
уравнений
гг +2>. ТТ-: Р<= -2к (16-23)
I и ' г с и, -ч :
dpi a dPi dqi a dq
и условий (16.18).
Условия (16.20), (16.21) гарантируют выполнение уравнений
(16.18) при произвольных функциях %а (t), если они выполнены для
начальных условий. Другими словами, траектория, начавшаяся на М, не
покидает этой поверхности.
160
Наблюдаемыми величинами естественно считать не все функции на
многообразии М, а только такие, на изменении которых со временем не
сказывается произвол в выборе (t). Этому требованию удовлетворяют
функции f (q, р), подчиняющиеся условиям
{/. Ф°} (16.24)
ь
Действительно, в уравнениях движения для таких функций /={Я,/} +
2Х{Ф"./} (16.25)
а
члены, зависящие от Ха, исчезают на М.
Заданная на М и удовлетворяющая условиям (16.24) функция f (q, р)
существенно зависит не от всех переменных. Условия (16.24) можно
рассматривать как систему т дифференциальных уравнений первого
порядка на М, для которых уравнения (16.20) играют роль условий
интегрируемости. Поэтому функция / однозначно определяется своими
значениями на подмногообразии начальных условий для этой системы,
имеющем размерность (2п - т) - т = 2(п-т), В качестве такого
подмногообразия удобно взять поверхность Г*, определяемую уравнениями
Ха (Я, Р) = 0, а = 1 т, (16.26)
которые называются дополнительными условиями. Функции %а должны
удовлетворять условию
det || {%а, ф6} II Ф 0, (16.27)
так как только в этом случае Г* может служить начальной поверхностью для
уравнений (16.24). Удобно, кроме того, считать, что %а коммутируют друг с
другом*:
{Ха, Хь} = 0. (16.28)
В этом случае на многообразии Г* можно ввести канонические переменные.
Действительно, если выполнено условие (16.27), то при помощи
канонического преобразования в Г можно перейти к новым переменным, в
которых %а примут простой вид:
Ха (я, р) = Ра, (16.29)
где ра (а = 1, ..., т) - часть канонических импульсов новой системы
переменных. Обозначим qa сопряженные с ними координаты, и пусть q*, р*
- остальные канонические переменные. В новых переменных условие
(16.27) запишется в виде
det || дфa/dqb || ф 0, (16.30)
* Здесь и далее коммутатором двух функций f и g на фазовом пространстве мы
называем скобки Пуассона {/, gj (16.22). Мы говорим, что функции комммутируют,
если их скобки Пуассона равны нулю.
6 Зак. 1322
161
так что уравнения (16.18) можно разрешить относительно qa. В результате
поверхность Г* задается в Г уравнениями
