Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
Ра = 0, qa = qa (q*, р*), (16.31)
означающими, что уравнения связи (16.18) можно разрешить относительно
qa, причем q* и р* играют роль независимых переменных на Г*. Эти
переменные оказываются каноническими. Скобку Пуассона любых функций
fug, удовлетворяющих уравнениям (16.25), можно вычислить по формуле
<1632>
где
= / (Г Р*), q*, 0, р*); g*=g (qa (q*,p*),q*,0,p*). (16.33)
Для проверки формулы (16.32) удобно вычислить скобки Пуассона в
неканонических координатах т] = (фа, q*, ра, р*). При этом
{/. &} = 2 {г]", Пр> (df/dyf) (dg/drf). (16.34)
а, р
Вследствие условий (16.20) и (16.24) ряд членов в правой части (16.34)
исчезает, и в результате она совпадает с правой частью (16.32), где /* = / (г))
I р = фо = о. Подчеркнем еще раз, что вывод о каноничности q* и р*
существенно связан с условием (16.28).
Таким образом, имеется два способа описания наблюдаемых величин в
нашей системе. При первом из них наблюдаемые - функции на М (точнее,
классы функций на Г), удовлетворяющие уравнениям
(16.24) . Скобка Пуассона определяется как значение на М скобки
Пуассона в Г. Для перехода ко второму способу следует подобрать
дополнительные условия решить уравнения (16.18) и (16.26) и построить
функцию f* согласно (16.33). Можно показать, что эта процедура не зависит
от выбора дополнительных условий, так как изменение %а при соблюдении
условий (16.27) и (16.28) сводится к каноническому преобразованию в Г.
Как уже отмечалось, на практике решать уравнения связей типа
(16.18) часто затруднительно и удобнее работать с первым способом
описания наблюдаемых. С другой стороны, при описании по второму
способу мы имеем дело с обычным фазовым пространством и можем
использовать привычные формулы механики. Таким образом, для проверки
правильности той или иной формулы в первом способе описания
наблюдаемых достаточно проверить, что она переходит в обычную формулу
при описанном выше переходе ко второму способу. Именно так мы будем в
дальнейшем поступать при работе с континуальными интегралами.
т
117. Континуальный интеграл в
квантовой механике
В 1948 г. Фейнман ввел и исследовал континуальный интеграл по
траекториям в конфигурационном пространстве механической системы [15].
Для приложения к теории калибровочных полей более удобно полученное
Фейнманом в 1951 г. выражение для континуального интеграла, в котором
интегрирование ведется по траекториям в фазовом пространстве [16].
Рассмотрим одномерную механическую систему с функцией Гамильтона
Я (q, р), где q - координата (-оо <; q < оо); р - канонический сопряженный
импульс. Каноническое квантование такой системы заключается в замене
координаты и импульса р операторами q и р по правилу
q-+q==q\ р-+р= -id/dq (17.1)
(напомним, что мы используем систему единиц с h - 1). Операторы
действуют в гильбертовом пространстве волновых функций ф (q). Наложив
на функции ф (q) условие нормировки
Д- оо
J |Ф(?)|М? = 1, (17.2)
- оо
можно считать квадрат модуля | ф (q) | 2 = р (q) плотностью вероятности
нахождения частицы в точке q.
Эволюция состояния системы во времени определяется уравнением
Шредингера
idty/dt = Яф, (17.3)
в котором оператор энергии Я получается из классической функции
Гамильтона Я (q, р) заменой q и р операторами по правилу (17.1).
Формальное решение уравнения (17.3) можно записать в виде
ф (t) = U (/, *")ф (/0), (17.4)
где оператор эволюции
U (t, t0) = exp (i (t0 - t)H) (17.5)
есть показательная функция оператора энергии Я.
Метод континуального интегрирования позволяет представить
матричный элемент оператора эволюции в виде среднего по траекториям в
фазовом пространстве от выражения
exp (iS [/0, Й), (17.6)
где
t
S[t0,t] =5 {p(x)q(x)-H[q(x), p(x)\)dx (17.7)
itt
6*
163
есть классическое действие для траектории [q (т), р {х)) (f" ^ т ^ t) в
фазовом пространстве. Среднее по траекториям и есть континуальный
интеграл Фейнмана. Обычно континуальный интеграл определяют как
предел конечномерного интеграла. Приведем одно из возможных
определений.
Разделим интервал [/0, /1 на N равных частей точками хи tjv- 1.
Рассмотрим на интервале [/0, /] функции р (т), постоянные на интервалах
[t0, т), (та, т2), ..., (т^_ь t], (17.8)
и непрерывные функции q (т), линейные на интервалах (17.8). Зафиксируем
значения функции q (т) на концах интервала [i0, t], положив
q (to) = qo, q (0 = q- (17.9)
Траектория (q (т), р (т)) определяется значениями кусочно-линей- ной
функции q (т) в точках хъ ..., %N-\ (обозначим их^1; ..., q^-1) и значениями
кусочно-постоянной функции р (х) на интервалах (xk, Xu+i). Обозначим
эти значения ръ ..., рдг.
Рассмотрим конечномерный интеграл
(2я)-" {dpxdqx, ...dqN~i dpN exp[iS (70, 01 = JN{q0,q\ t0, 0. (17.10)
где 5 [tQ, t\ - действие (17.7) для только что описанной траектории (q(х),
р (т)), определяемой параметрами qu ..., q^, рх, ..., p,w- Основное
утверждение заключается в том, что предел интеграла (17.10) при N->oo
совпадает с матричным элементом оператора эволюции:
