Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
в изопространстве; сря - скалярные поля Хиггса. Магнитный заряд
выражается через поля Хиггса формулой
M = (\/4n)^k0d3 х= -(1/8яе) j' e0vpo ейЬс dv срадР <рь да <рс d3 х .
Здесь е - заряд электрона. Таким образом, магнитный заряд, лишенный
сингулярных нитей, можно интерпретировать как топологическую
характеристику хиггсовских полей. Однако нужно заметить, что при
переходе к другой системе координат выражение для М (12.20) изменится. В
него явно войдут вектор-потенциалы калибровочного поля, но полный
магнитный заряд не изменится. Магнитный заряд сохраняется также во
времени независимо от уравнений движения^/Я == 0). Условия квантования
Дирака означают, что еМ = q. Ток k0 исчезает всюду, кроме нулей
хиггсовского поля, где он сингулярен. Если вспомнить, что хиггсовские поля
играют роль источников в уравнениях Янга - Миллса и такую же роль иг-
рают спинорные волновые функции электронов в уравнениях Максвелла, то
становится понятной связь между происхождением магнитного заряда в
теории Янга - Миллса и происхождением нитей магнитного потока в
электродинамике. Магнитный заряд подобно потоку занимает ту область
пространства, где волновые функции частиц, взаимодействующих с
калибровочным полем, зануляются. Число'квантов магнитного потока в
нити, как"и число квантов магнитного заряда в монополе, определяется
некоторым интегралом по замкнутой поверхности, охватывающей область
нулей волновых
Qm = Iе°ш (A?Fahl + 'lJabcA°AUi)d3x.
(12.19)
(12.20)
127
функций частиц. В электродинамике эта замкнутая поверхность
представляет собой S1, а в теории Янга-Миллса - S2.
В d-мерном конформно плоском евклидовом пространстве ка-
либровочный тип регулярных калибровочных полей характеризуется
гомотопическим классом па^г (G) функций перехода, определенных на Sd~l.
Если d четно, гомотопический класс можно описывать (^/2)-ным классом
Черна, определенным как
К-1)^/(2т)^ (d/2)!]2 s'; д ... л q;>;22 , (12.21)
где суммирование ведется по всем упорядоченным поднаборам (t'i ... id/2) из
d/2 элементов, принадлежащих набору (1 ... г), где г - размерность матриц
калибровочной группы. (с?/2)-Мерный б-символ означает суммирование по
всем перестановкам (j\ ... /d/2) из (ii ... id/2), причем нечетные перестановки
берутся с отрицательным знаком; Q - форма кривизны матричного
представления калибровочной группы G. Для полупростой группы G все
рассуждения, проведенные выше, легко обобщаются. Но если размерность
многообразия нечетна, гомотопический класс лс1_1 (G) нельзя представить в
терминах формы кривизны. Это происходит потому, что любой
характеристический класс, представимый в терминах F(iV, должен быть
четной формой.
Рассмотрим теперь (d - 1)-мерную сферу в d-мерном евклидовом
пространстве и поля Янга-Миллса на Sd_I. Калибровочный тип расслоения
над Sd~l определяется гомотопической группой Jtd_2 (G). Если d четно, не
существует представления nd_2 (G) через кривизну, так как d - 1 нечетно.
Если d нечетно, можно определить [(d- 1)/2]-й класс Черна, который
получается из общей формулы (12.21) при замене d -2- d - 1. Он позволяет
обобщить понятие магнитного потока в 3-мерном пространстве, опреде-
ляемого первым классом Черна для U (1)-расслоения, на пространства
высших размерностей. Легко видеть, что интеграл от [(d - 1)/2]-го класса
Черна по сфере Sd_1 не зависит от выбора сферы, пока не затрагиваются
сингулярности. Таким образом, если размерность нечетная, [(d - 1)/2]-й
класс Черна можно использовать для описания калибровочного типа. Если
калибровочное поле имеет нетривиальный [(d - 1)/2]-й класс Черна, его
поведение на бесконечности не будет чисто калибровочным. Следовательно,
нельзя компактифицировать пространство и топология базы будет
отличаться от топологии Sd.
Инстантон можно определить как классическое калибровочное поле
такой конфигурации, что его нетривиальная топологическая характеристика
есть (G) в d-мерном евклидовом простран
стве. Тогда монополь определяется как классическое калибровочное поле
(возможно, сингулярное) такой конфигурации, что его нетривиальная
топологическая характеристика есть ard_2 (G) в d-мерном евклидовом
пространстве. Таким образом, если мы характеризуем псевдочастицы
некоторым топологическим зарядом, вы
128
раженным через FpV, в соответствии с этими определениями псевдочастица
будет называться инстантоном, если размерность пространства-времени
четна, и монополем, если размерность пространства--времени нечетна.
Например, магнитный заряд в 3-мерном пространстве характеризуется
гомотопической группой ях (G), которая соответствует классу замкнутых
петель. Как известно, % (SU (я)) = 0 и % (50 (я)) = 72 при я > 3.
Следовательно, в SU (я)-калибровочной теории в 3-мерном пространстве
монополей нет. Первый класс Черна тождественно исчезает для SU (я). Для
SO (я), вообще говоря, нельзя записать (SO (я)) в терминах тензора кривизны.
Для SO (3) это было показано By и Янгом [48]. Если рассматривать
