Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, что маятник возвратится в это же положение равновесия через
бесконечное время, но угол а изменится при этом на 2я. Поэтому формально
можно сказать, что маятник перешел из положения равновесия при а = 0 в
другое положение равновесия при а = 2я. На языке квантовой теории этот
процесс отвечает переходу из одного вакуума в другой.
В 2-мерных калибровочных теориях поля со спонтанным нарушением
симметрии возникает гамильтониан скалярного поля
(12.26)
(12.27)
оо
Н = -
2
j dx я2 +
- р2Ф2 -
5*
131
Если вакуумное среднее поле ср не равно нулю (ф2= p2A), имеется
топологически нетривиальная экстремаль потенциальной энергии,
определяемая из уравнения
ф с + р2фс - = 0. (12.28)
Топологическая нетривиальность состоит в том, что при х-> +°о
решение выходит на разные константы фс (+°°) = ±ф (подобно фазе
математического маятника). Решение фс (х) = = (р/]/Д,) th (рх/[/2) содержит
один "переворот" граничных значений (один кинк) на интервале -оо < х <;
°°. В более сложных случаях возможны решения, содержащие несколько
переворотов граничных значений поля на интервале изменения независимой
переменной. Такие решения называются п-кинковыми (или п-солитон-
ными). Как правило, они не являются статическими. Число соли- тонов
называется топологическим квантовым числом.
В теории поля топологически нетривиальные солитонные решения
возникают тогда, когда наложено дополнительное условие постоянства
амплитуды поля <ф2> = const, но направление вектора ф в пространстве
полей не фиксировано. На границах области определения ф может иметь
разные знаки.
Квантование солитонных решений приводит к появлению частиц
экстремально больших масс. Действительно, флуктуации поля в
окрестности солитонного решения ведут себя как "частицы" в
потенциальной яме, размеры которой определяются градиентами поля.
Спектр колебательных уровней энергии вблизи фс приводит к спектру масс
[50, 53]:
+ -^rVn(4-n). (12.29)
з я 2/2 /2
Этот спектр масс содержит зависимость от размеров ямы I ~ У~2/р, и
обратной величины константы связи К. Поэтому при малой константе связи
масса (энергия) "протяженных частиц" может быть очень велика. С
формулой (12.29) связана гипотеза о существовании силь-
новзаимодействующих частиц, построенных из слабовзаимодейст- вующих
[54].
В реальном 4-мерном случае существуют аналогичные решения,
сосредоточенные вокруг конечного замкнутого контура (струна), ис-
пытывающего периодические нелинейные колебания. Эти решения
описывают струны (или вихри в сверхтекучей жидкости), взаимо-
действующие через безмассовое скалярное поле. Поскольку энергия и
действие связаны соотношением Н±-2U = LT, где U потенциал, знаки + и -
означают евклидову и псевдоевклидову сигнатуру V/ существует связь между
солитонами и инстантонами.
132
§ 13. Калибровочные поля и структура
пространства - времени
Введение. Существует несколько способов установить связь между
калибровочным полем и структурой пространства-времени. Если
спроецировать слой на касательное пространство к базе, т. е. отождествить
внутренние и пространственно-временные переменные, калибровочное поле
проявляет себя в отклонениях геометрии и топологии Vi от евклидовой
(через кривизну, кручение или неметрич- ность переноса в зависимости ог
свойств проекции, а также появление топологических ненулевых зарядов).
Простейшим примером является SL (2, С)-калибровочная теория тяготения,
которая в качестве группы калибровок использует группу Лоренца,
преобразующую в каждой точке Vk локальный реперный базис касательного
пространства. Эта теория для метрической связности эквивалентна теории
Эйнштейна. Аналогичным образом можно получить вейлевскую
геометрическую трактовку электродинамики, где возникают неметрические
коэффициенты связности.
Второй способ состоит в отождествлении вектор-потенциалов
калибровочного поля с коэффициентами связности конфигурационного
пространства высшей размерности, в котором К4 рассматривается как
гиперповерхность. В этом случае касательное пространство к Vi является
частью касательного пространства к Ёг+4. Коэффициенты связности,
описывающие гравитационное поле, составляют часть компонент полных
коэффициентов связности. Если предположить, что волновые функции
зависят периодически от внутренних переменных, можно при таком подходе
получить обобщение оператора массы [16].
Третий способ - отождествление вектор-потенциалов калибровочных
полей с недиагональными компонентами метрики конфигурационного (г 4)-
мерного пространства, в котором К4 рассматривается как поверхность. На
этом пути удается получить геометрическую интерпретацию массы
калибровочного поля, а также показать, что лагранжиан системы
гравитационных и янг-миллсовских полей представляет собой скалярную
кривизну (г + 4)-мерного расслоенного пространства [9, 12-15]. Такой
подход обобщает единую теорию гравитации и электромагнетизма Калузы-
Клейна на неабелевы калибровочные поля.
