Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
G2 (л = 7); Spin7 (л = 8); Spin9 (л = 16). Попытка связать калибровочные
группы и внутренние симметрии с такими группами голономии привела бы к
пространствам большей размерности, чем 4 (кроме разрешимой группы и ее
подгрупп, для которых возможно л = 4).
В произвольном многообразии Vn группа гелономии характеризует
структуру параллельного переноса и степень отклонения геометрии Vn от
евклидовой. Для аналитической связности нулевой кривизны ограниченная
группа голономии сводится к тождественному преобразованию.
Если группа голономии уже группы Gr, действующей в слое, можно
безболезненно редуцировать группу, действующую в слое, до группы
голономии, поскольку все преобразования векторов, разнесенных по всему
У4, принадлежат группе голономии и не выходят за ее рамки. Геометрически
суженность группы голономии по сравнению с максимально возможной
группой GL (л) означает возможность зафиксировать часть реперов в слое,
которые не преобразуются при параллельном переносе. Это происходит,
например, из-за некоторой степени однородности или симметрии базы.
Структура многообразия определяется группой голономии неод
117
нозначно. На одном и том же многообразии можно ввести разные связности,
и они, вообще говоря, дадут разные группы голономии. Поэтому, зная
только связность (или группу ее голономии), еще нельзя сказать, о каком
многообразии идет речь. Могут быть разные многообразия с одинаковыми
группами голономии. Простейший пример: на одной полости гиперболоида
можно ввести евклидову связность. Тензор кривизны для такой связности
равен нулю. В то же время для связности, индуцированной на 2-мерном
гиперболоиде при вложении его в 3-мерное евклидово пространство,
гиперболоид представляет собой пространство постоянной кривизны, т. е.
тензор кривизны индуцированной связности отличен от нуля.
Группы голономии многообразий связаны также с их группами
движений. Стационарная подгруппа группы движений одновременно
является подгруппой группы голономии. Это легко видеть из следующих
рассуждений.
Если в многообразии задано поле ковариантно-постоянного тензора
(например, поле метрического тензора в римановом пространстве), это поле
определяет в точке х многообразия тензор, инвариантный относительно
группы голономии ШАУп), и наоборот, всякий тензор в точке х,
инвариантный относительно группы голономии порождает при
параллельном переносе в многообразии поле, ковариантная производная
которого равна нулю. Таким образом, существование ковариантно-
постоянного поля метрического тензора на многообразии приводит к тому,
что группа голономии в каждой точке хп такого многообразия совпадает с
группой движения плоского пространства, наделенного той же метрикой gyiv
(х0), или с одной из ее подгрупп. Отсюда следует, что для псевдоримано- ва
пространства V,, и римановой связности (т. е. символов Кристоф- феля)
группой голономии может быть только группа Лоренца или ее подгруппа.
Необычные группы голономии, о которых говорилось вначале,
соответствуют необычным связностям.
Если рассматривать группы, описывающие внутренние симметрии
элементарных частиц, как группы голономии псевдориманова пространства,
а элементарные частицы - как их представления, получим концепцию
неточечных частиц. Зависимость волновой функции частиц от конечной
области войдет через структуру группы голономии, представлением которой
они будут определяться.
Некоторые решения уравнений Янга-Миллса с точечным ис-
точником, не обладающие сферической симметпией. Положительная
определенность энергии поля и фиксированная пространственно-
временная симметрия решений как ограничения на структуру группы
голономии. Понятие группы голономии расслоенного пространства удобно
использовать для анализа классов решений классических уравнений
калибровочных полей, поскольку решить эти уравнения на геометрическом
языке означает найти связность главного расслоенного пространства над Vh.
Такой анализ показывает, что физические требования типа положительной
определенности энергии поля, условий Лоренца (т. е. ограничение на
переносимый
118
полем спин), а также выбор определенной пространственно-временной
симметрии решений представляют собой ограничения на возможную
структуру соответствующей им группы голономии. Тем самым возникает
зависимость между пространственно-временными и внутренними
свойствами симметрии решений.
В римановом пространстве тензор кривизны и его ковариантные
производные, а точнее, их свертки с произвольными векторами Vх; wu\i\
и\2\ ... в точке х вида
... гЛ ... w?1 Vvh ... VUl vx w^1 (12.1)
определяют элементы алгебры Ли da*x локальной однородной группы
голономии.
Аналогичным образом в расслоенном пространстве алгебра Ли
локальной однородной группы голономии определяется тензором кривизны
и его ковариантными производными (т. е. тензором напряженности
калибровочного поля FRV и его ковариантными производными). С этой точки
