Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
тождество:
0м-VтХ; ц = ^vtX; ц. - 1/е gv [X R; т] > (13.32)
где Ovxx - тензор конформной кривизны. Поскольку при я ^ 3 все Vn
конформно-плоские, т. е. ?>Vtx = 0, уравнения (13.31) сводятся к R = const. В
гармонической системе координат это уравнение имеет вид уравнения
синус-Гордон и допускает частицеподобные решения - солитоны. При я > 3
условие R = const получается из (13.31) сверткой по v, т при учете свернутых
тождеств Биан- ки. Поэтому можно считать, что в отсутствие источников
уравнения калибровочной теории тяготения имеют вид
0\,ТХ;Ц = 0. (13.33)
Для полей тяготения общего вида, относящихся к типу N по Петрову,
уравнения (13.33) конформно-инвариантны.
Если g^v рассматривается в качестве другой независимой переменной,
описывающей поле тяготения, то полный лагранжиан представляет собой
сумму эйнштейновского и янг-миллсовского членов [4, 32, 57]:
Х = R + (тт)^"Д?^тх.
Варьируя X по g^v, получим обобщение уравнений Эйнштейна: ^v =
(MtyC^R'K (13.34)
Очевидно, что все пространства Эйнштейна в вакууме удовлетворяют (13.31)
и (13.34). Конформно-эйнштейновы пространства, удовлетворяющие (13.31),
являются волновыми (тип N). Используя дважды дуальный тензор кривизны
R^vх% - 1/4rj^v"Pr)xXv6 i?apve и тот факт, что из (13.34) следует R = 0, можно
показать, что из
(13.31) , (13.34) следует
$7* - 0; R^ = (А.2/4я) C^v RT%-
139
Таким образом, система уравнений (13.31)-(13.34) симметрична
относительно замены Rvv^ ^nv-л и имеет класс дважды само- и
антисамодуальных решений R^vxk = дважды дуаль
ные решения в псевдоримановом пространстве обладают рядом свойств,
характерных для инстантонов в римановом пространстве. Например, они
зануляют тензор энергии-импульса гравитационного поля, а лагранжиан
(13.27) сводят к дивергенции от аномального тока. Поэтому, как и в случае
инстантонов, интеграл действия определяется граничными значениями поля
и для компактного ориентируемого многообразия конечен. В то же время
условию само- дуальности Ra$y& = ±Raрте в псевдоримановом
пространстве удовлетворяет только пространство Минковского. Дважды
дуальные гравитационные поля подобно инстантонам минимизируют ин-
теграл действия с лагранжианом (13.27). Эти результаты можно получить,
используя тождества [32]
R^ Ravzl s V4 Rwrt RyvxX = V4 К (- Cyvxk cwtx + 2Rvy Rl -
-2/3я2); Ruvxk RavrX + Rav rx Ruvrl = Va бц Ryvrx Rvvzl; (Raw6
+ Ram) (Rapv6 + Ram) "(R* R%- v4 R2)-
Условия
= (13.35)
и
рцй"= (13.36)
определяют тензор кривизны как простой и изотропный битензоры,
соответственно [41] и эквивалентны условиям
Сюлст = i/l2 - g&gf°)R (13.37)
fifr Rh -I- "[.г Rh = Va 6ft tt]R- (13.38)
Из (13.37) следует, что R - 0 и C^zka = 0. Таким образом, (13.35) приводит к
конформно-плоским пространствам нулевой скалярной кривизны. Уравнение
(13.34) редуцируется к = 0. Теория Эйнштейна допускает единственное
пустое пространство такого рода - это плоское пространство-время. Если
же У4, удовлетво
ряющее (13.35), не пусто, его метрика может быть получена из ва-
О О
куумной метрики gRV конформным преобразованием ,
где скалярная функция а{х) подчиняется уравнению Пv = = 0. Тензор
энергии-импульса материи в этом случае связан с
а (х) уравнением Tllv = 2av-li, - -f &цуОаоа. Здесь av =
= dva; 0v;m, = V^v. Если av - вектор Киллинга, то Da = 0,
140
огкст" = 0, T^v = -2оуРч- Этим условиям удовлетворяет тензор энергии-
импульса электромагнитного излучения, записанный в формализме
Ньюмена-Пенроуза.
Уравнение (13.38) приводит к Rv что представляет со
бой необходимое и достаточное условие того, чтобы ]/4 с локальной
метрикой Минковского было пространством Эйнштейна [41]. Физической
моделью такого пространства является однородное пространство, всюду с
одинаковой плотностью заполненное материей.
Для полей (13.36) уравнение отклонения геодезических принимает вид
где аф1 = Cvu (dxv/ds) (dx4ds) -f 6?fi?/12. Величина СГ. конформно-
инвариантна. Величина R при конформных преобразованиях интервала ds2'
= e2ads2 переходит в R' = е_2а(К + бПсг + ба^о^). Требование R = const при
конформных преобразованиях приводит к ограничению на а (х): Па + avav +
R (1 - е2о)/6 = 0.
В евклидовой теории тяготения регулярное локализованное решение
(инстантон) было впервые построено Хокингом [59] с помощью
аналитического продолжения метрики Швардшильда в евклидову область.
Решение Хокинга обладает конечным действием. Характеристика Эйлера для
этого решения % = 2.
Большой интерес представляет также изучение свойств сингулярностей
гравитационных полей через их асимптотические свойства в
псевдоримановом ]/4. В ОТО, интегрируя компоненты тензора кривизны,
получаем массу источника поля. Подобным образом во всех локально
калибровочно-инвариантных теориях интегрируя компоненты поля,
получаем характеристики источников калибровочного поля в полном
соответствии с программой геометризации взаимодействий.
Движение частиц в калибровочном и гравитационном полях. Как
