Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
обобщенный монополь в 5-мерном пространстве, он будет характеризоваться
гомотопической группой я3(С) и, следовательно, вторым классом Черна.
Известно, что я3 (SU (я)) = = я3 (Sp (я)) = Z для я^2ия3 (SO (я)) = Z для я ^
5. Тогда 5-мерный монополь может иметь бесконечное число калибровочных
типов. Это же справедливо для 4-мерных инстантонов.
Рассмотрим топологию многоинстантонных "решений [51]:
А" = (]/2)оаА1-, Л" = ri^vcUnp; р = 2 ^l(x~xtf, (12.22)
где сгц - матрицы Паули; r)a(iV = e0aftv - г12гаЪс&Ъс^ v. причем eoi2 3 = 1 и
(ЭцСо) со-1 = (i/2) ваTiauv 2xjx2\ со = (х0 + iхаоа)/]7х2.
Функция р - общее решение уравнения (1 /р) ? р = 0, эквивалентного
условию самодуальности FHV. Выражение (12.22) можно преобразовать к
виду
Лц=-(1/р) 2 [^/(х-х^НД^соГ1, (12.23)
I- 1
где сог = [(х - xt)о + i (х - Xt)aaаУ[(х - хг)2]1/2.
Тензор напряженности калибровочного поля имеет вид
Я? 1 ^ ЦЩх-x^x-xj)
(x-xi)i р {x-xtY(x~XjY
rianv ва.
Очевидно, что Fwv не сингулярно при л: = лгг, хотя вектор-потен- циалы
сингулярны [см. (12.23)], так как сингулярности в (12.23) устранимы чисто
калибровочным преобразованием. Глобальные свойства этого решения
удобно изучать изложенным выше методом гомотопических классов.
Разделим все пространство на я областей Rlt ..., Rn так, чтобы в каждой
области Rt содержалась только одна сингулярная точка Х{, а ее пересечение
с соседними областями происходило только на бесконечности. Необходимо
расположить области Rt так, чтобы пе
5 Зак. 1322
129
рекрывались только соседние области Rt и Ri+1. В каждой облас^ ти Ri
регулярное калибровочное поле определяется как
Функции со, сингулярны при х = xt. В каждой области пересечения Ri fl Ri+l
(~5Я) определим функции перехода Ф;,г+1 - = COf-Д ю;. Тогда
тор-потенциал (12.25) приводит к тому же тензору поля, что и
(12.23) , так как они связаны между собой калибровочным преобра-
зованием (сингулярным)
где - решение (12.22).
Глобальный калибровочный тип этого решения характеризует-
П-1
ся интегралом от второго класса Черна. В то же время q = .2 (ин
тегралов от гомотопических классов г +i) - п - 1, так как интеграл от
гомотопического класса (или число оборотов) <рг- ,+1 равен единице для
каждого г.
Выберем систему координат так, чтобы сингулярные точки х, и xi+1
лежали на оси времени х0 = t, причем tt > 0, ti+1 < 0. Для простоты
предположим, что область пересечения Д, П Д; +1 представляет собой
гиперсферу между ti+1 и it. Тогда
фц i+i = {д2 + [г2 + (t-tif])-4 (t - tl+1) X
X{t- ti) + r2 - ixaoa (ti+1 - /,)!;
Для любой гиперсферы S3 между tt и ti+1 имеем фг> ,+i-> 1 при r-v оо и ф; ;+1
-1 при г-> 0. Таким образом, когда х пробе
гает 53, значение функции Ф, ,+1 пробегает SU (2)-групповое многообразие,
причем каждая точка на SU (2) встречается один и только один раз.
Поэтому интеграл от гомотопического класса равен единице. Этот результат
справедлив для любой области пересечения, так как непрерывные
деформации этой области вызывают непрерывные изменения Фг,;+ъ если не
затрагиваются сингулярности.
С изложенной выше точки зрения туннелирование из одного
классического вакуума в другой, связанный с первым калибровочным
преобразованием (процесс, описываемый инстантоном), соответствует
наличию в некоторой области пространства-времени го
со,- 1 (дц to,) соi 1 to, .
(12.24)
(12.25) О (\l\x\2).
Век-
А($ = соt 1 Ар, со, "г 1 Зц со,.
мотопически нетривиальных функций перехода. Поэтому /г-инстан- тонное
решение (12.23) можно обобщить, записав вектор-потенциал для любой
комбинации инстантонов и антиинстантонов. Такая конфигурация полей не
будет решением уравнений поля, хотя интеграл действия останется
конечным. Простейший пример инстантон-ан- тиинстантонной
конфигурации дает
где со32 = cojto^co"1. Здесь использованы две функции перехода
Ф12 и ф'з1. Обратная функция перехода отвечает антиинстантону.
Решения типа (12.26) используются при изучении взаимодействия
инстантонов.
Солитоны. Солитоны удовлетворяют условию Я = const (энер-
гия постоянна). Они были получены впервые в 2-мерных моделях
теории поля как топологически нетривиальные решения уравнения
синус-Гордон
<Э2ф/<Д2 - д2ф/д?2 = -у sin ф.
Геометрический смысл этого уравнения состоит в том, что оно описывает в
гармонических координатах 2-мерную поверхность постоянной кривизны
[52]. Действительно, 2-мерный интервал в гармонических координатах имеет
вид ds2 = sin 2 (ф/2)du2 + cos2 (ф/2)dv2, а единственная компонента тензора
кривизны R1212 пропорциональна скалярной кривизне К - (д2ф/<Э/2-
д2ф/д?2)/ эшф. Обозначив и = t, v = |, К. = -у, получим отсюда (12.27).
Статические решения 2-мерного уравнения (12.27) описывают также
одномерное движение математического маятника, если ф = а, т. е. углу
отклонения от положения неустойчивого равновесия. Солитонное решение а
= 4 arctg exp (]/"yt) отвечает случаю, когда движение маятника начинается из
верхнего (нестабильного) положения равновесия с нулевой скоростью.
