Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
играющая важную роль в критических явлениях, и линия я = 0, описывающая
разупорядоченные системы. Случай я = 0 соответствует стабильному
дефекту, размерность которого совпадает с размерностью пространства.
Поэтому вся система в целом может рассматриваться как сердцевина дефекта
с неупорядоченной структурой.
В одноосном нематическом жидком кристалле параметром порядка
является линейный элемент, т. е. вектор без направления. Для я-
компонентного параметра порядка многообразие внутренних состояний F =
Рп-х - вещественное (я - 1)-мерное проективное пространство. Для
обычных нематиков в 3-мерном пространстве F = Д2, т. е. проективная
плоскость. Для 2-мерных нематиков F = = Pi = Sv Тогда (Рт) = Z2, лг (Рт) =
яг (Sm) для г > 1, где Z2 - 2-элементная группа целых чисел по модулю 2.
Поэтому, например, в обычных 3-мерных нематиках кроме точечных дефек-
тов, общих для них и для соответствующих векторных систем, возможны
топологически стабильные линейные дефекты, обладающие свойством быть
собственными античастицами. Два нематических линейных дефекта могут
распасться на точечные дефекты.
В сверхтекучей A-фазе 3Не в пренебрежении ядерно-спиновыми
степенями свободы орбитальный параметр порядка представляет собой
систему из трех ортогональных векторов. Многообразие внутренних
состояний F - SO (3) = Р3. Поэтому A-фазу можно рассматривать как
разновидность нематика высокой размерности. Предсказывается, что в 3-
мерном объеме 3Не не будет стенок и точек, а также линий, являющихся
собственными античастицами. Если попытаться построить точечный дефект
для одного из трех ортогональных векторов, с необходимостью появляются
струнные сингулярности для двух других векторов, прикрепленные к
точечному дефекту. Эта ситуация напоминает дираковский монополь.
Топологическая классификация частицеподобных решений. Час-
тицеподобные решения уравнений Янга - Миллса в евклидовом
пространстве-времени (инстантоны, монополи) естественно клас-
сифицируются с помощью характеристических классов. Характеристические
классы (в частности, классы Черна) - это простейшие глобальные
инварианты, измеряющие отклонение структуры расслоенного пространства
от прямого произведения. Они тесно связа
125
ны с понятием кривизны. Характеристический класс есть полная кривизна,
соответствующая некоторой связности. В то же время характеристические
классы определяют поведение гладких векторных полей с изолированными
нулями на компактном ориентируемом многообразии. Связь между
простейшим характеристическим классом - характеристикой Эйлера % (М)
многообразия М - и числом изолированных нулей гладкого векторного поля
v дается теоремой Хопфа: % (М) - X нулей v. Свойства магнитных монопо-
лей и инстантонов можно рассматривать с единой точки зрения, если
обратиться к глобальным свойствам калибровочных преобразований.
Рассмотрим d-мерное евклидово пространство, конформное сфере Sd.
Оно может быть покрыто несколькими локальными картами. Пусть каждая
карта покрывает область Rh причем в областях перекрытия соседних карт Rt
П Rj заданы функции перехода ф^-. Калибровочные поля в Rt и Rj определены
так, что для x^Rtp\Rj
Глобальные калибровочные преобразования состоят из деформаций областей
Rt и обычных калибровочных преобразований для каждого А^. Будем
говорить, что набор калибровок, глобально переводимых друг в друга,
образует калибровочный тип. В абелевом случае этот подход позволяет
описать монополь Дирака без струнных сингулярностей [48J. Калибровочный
тип характеризуется в этом случае условием квантования Дирака.
Калибровочный тип на компактифицированном евклидовом прост-
ранстве Si однозначно характеризуется гомотопическим классом jT3 (G)
функций перехода cp12, осуществляющих отображение области /Д (I R2,
гомеоморфной S3, на полупростую группу G, если G связна. Его можно
определить с помощью второго класса Черна с2 = (1/8я2) Sp (П Д Q), где Q =
1j2Fllvdx^1 Д dxv - форма кривизны расслоенного пространства.
Калибровочный тип характеризуется числом
где Sp (А ААр + 2/3А vAaAр). В квантовой теории поля
называется аномальным током. Второй класс Черна выражается через
дивергенцию аномального тока благодаря тождеству
(х) = <р// (х) (х)сри (х) + фц 1 (х)<Эдфу (х).
Hi Rl| |Яа зз
(1/24я2) j envapSp (фГг1 dv ф12фГг1 да ф12 фД1 dp ф12) da>\ (12.17)
с2 = (l/32nXv"p Sp (F^FazWx = (1 /8п2)д^х. (12.18)
(Здесь Fдv == ^4у].)
126
В электродинамике Максвелла имеем аналогичное тождество: Filv*Fllv=
5ц (е^тЧ vFxk) = д^^А.
Для произвольных калибровочных полей в псевдоевклидовом пространстве
У4 имеем
При F%FaV = 0, т. е. ЕаНа = 0, аномальный ток локально сохраняется (5ц7^л
= 0). Поэтому возникает сохраняющийся заряд
Условие Qm - const в электродинамике означает, что сохраняется число
вихревых линий в замкнутой системе.
Решение уравнений Янга-Миллса, описывающее магнитный монополь,
имеет вид (Тофт, А. М. Поляков [49, 50] ):
Здесь /,/=1,2,3 - пространственные индексы; a, b = 1, 2, 3 - индексы
