Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
антисимметризована, выражается через тензор кривизны расслоенного
пространства:
tf[nv] = /K^v со*. (11.15)
а
Итак, локализация калибровочных групп, т. е. введение над каждой
точкой пространства-времени группы Ли Gr (или соответствующей
алгебры) так, что отнесенные к разным точкам, эти группы изоморфны друг
другу, означает переход к главному расслоенному пространству. Базой этого
пространства является пространстве- время Г4, слоем - группа Gr,
рассматриваемая как многообразие. Локально, т. е. в окрестности каждой
точки, расслоенное пространство представляет собой прямую сумму двух
пространств Gr X Г4, а касательное пространство - прямую сумму двух
касательных пространств 7V4 X Ат (7V4- касательное пространство к 1/4; Аг
- алгебра Ли группы Gr). Введение калибровочного поля, описываемого
вектор-потенциалом Л?, означает введение связности расслоенного
пространства. Если тензор напряженности калибровочного поля F^v = 0, то
введенная связность имеет нулевую кривизну. Минимальные
взаимодействия с калибровочным полем, которые соответствуют замене
обычных производных ковариантными в смысле Янга-Миллса, означают
переход к ковариантному дифференцированию в расслоенном пространстве.
При этом уравнения, включающие взаимодействие с Л", остаются
свободными.
Уравнения калибровочных полей с геометрической точки зрения
означают, что рассматриваются связности на главном расслоенном
пространстве, такие, что дивергенция соответствующих тензоров кривизны
равна нулю = 0 или заданной величине R%vv = /и. В случае касательного
расслоения над Vn при п ^ 3 эти уравнения тождественно сводятся к условию
постоянства скалярной кривизны R = const. При п >• 3 условие R = const
является следствием равенства нулю дивергенции тензора кривизны.
Калибровочные поля можно классифицировать по алгебраическим
свойствам тензора поля. Электромагнитные поля разбиваются при этом на
два типа: волновые и неволновые [40]. Гравитационные поля бывают трех
типов, причем волновые, неволновые и смешанного типа поля могут
присутствовать в каждом из них [41]. Поля Янга-Миллса разбиваются на
четыре типа. В каждый из типов II-IV могут попасть как волновые, так и
неволновые поля. Тип I является неволновым [42].. Учет дифференциальных
свойств тензора поля позволяет сделать алгебраическую классификацию
более детальной (учесть свойства групп голономии расслоенного
пространства).
114
§ 12. Классификация решений
классических уравнений калибровочных полей
Введение. Существует три вида классификаций решений классических
уравнений калибровочных полей, которые стали возможны благодаря
геометрическому подходу. Первая из них использует тот математический
факт, что компоненты тензора кривизны произвольного многообразия (в
данном случае расслоенного пространства) вместе со своими ковариантными
производными образуют алгебру группы голономии этого многообразия. С
такой точки зрения уравнения калибровочного поля приводят к
ограничениям на группу голономии и структуру многообразия. При наличии
дополнительных калибровочных условий появляется зависимость между
пространственно-временными и внутренними свойствами симметрии ка-
либровочных полей. Она позволяет получить некоторые физически
оправданные критерии отбора решений. Эта классификация впервые была
предложена Лосом в 1965 г. [6] и развивалась в работах его школы.
Другая классификация представляет собой классификацию ка-
либровочных полей по алгебраическим свойствам тензора поля и строится
аналогично классификации Петрова полей тяготения. Эта классификация
является локальной. Она позволяет связать инварианты, построенные из
компонент тензора поля, и собственные векторы тензора поля со свойствами
симметрии решений и возможными типами асимптотического поведения
калибровочных полей (Егучи, 1976 г. [42] ).
Третий вид классификации решений использует понятие групп
гомотопии многообразия, т. е. групп деформаций замкнутых путей. Этот
подход полезен при описании процессов в макроскопических
упорядоченных средах, в частности в теории фазовых переходов.
Возможность изучения свойств сплошной среды с помощью групп
гомотопии и других топологических характеристик объясняется тем, что
неоднородное пространство можно рассматривать как модель сплошной
среды, а дефекты структуры сплошной среды можно описывать как
нарушение связности многообразия (топологические дефекты). Они
проявляют себя физически точно так же, как внешние источники
калибровочных полей. Поэтому становится возможной аналогия между
свойствами элементарных частиц и свойствами дефектов в упорядоченных
средах, а также топологическая классификация частицеподобных решений
уравнений калибровочных полей. Топологические классификации являются
асимптотическими в том смысле, что они исследуют поведение
калибровочных полей в тех областях, где тензор поля равен нулю, а вектор-
потенциал становится связностью абсолютного параллелизма [18].
